1、“.....且中有个已知元素两集合有个公共元素，且解答本题只需建立有关实数，方程组即可，可先根据，得或，然后列出方程组解出，值，但要特别注意集合中元素互异性规范解答因为，或，且若，则由，得若，且由得方程组无解综上，规律总结两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾情形若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合代表元素是否致，且看代表元素满足条件是否致，若均致，则两集合相等设集合若，求实数，值解析由于，所以或即或且，真子集有个设，若集合，则答案解析，已知集合若⊆，则实数取值范围为答案解析将集合表示在数轴上，如图所示，课堂典例讲练已知集合，且⊆，写出满足上述条件集合思路分析由题意知......”。

2、“.....两个元素，且中至少含有个元素才能满足是真子集，是子集规范解答⊆，为真子集，为子集，至少含有个元素当含有个元素时子集真子集概念当含有个元素时当含有个元素时，共个规律总结求集合子集问题时，般可以按照集合元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求集合解决这类问题时，还要注意两个比较特殊集合，即∅和集合自身已知⊆，集合子集个数是答案解析根据子集和真子集概念，又,⊆则其子集个数是故选集合相等设集合且，求实数，思路分析由题目可获得以下主要信息两个集合各有三个元素，且中有个已知元素两集合有个公共元素，且解答本题只需建立有关实数，方程组即可，可先根据，得或，然后列出方程组解出，值，但要特别注意集合中元素互异性规范解答因为，或，且若，则由，得若，且由得方程组无解综上......”。

3、“.....则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾情形若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合代表元素是否致，且看代表元素满足条件是否致，若均致，则两集合相等设集合若，求实数，值解析由于，所以或即或为真子集，为子集，至少含有个元素当含有个元素时子集真子集概念当含有个元素时当含有个元素时，共个规律总结求集合子集问题时，般可以按照集合元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求集合解决这类问题时，还要注意两个比较特殊集合，即∅和集合自身已知⊆，集合子集个数是答案解析根据子集和真子集概念，又,⊆则其子集个数是故选集合相等设集合且，求实数，思路分析由题目可获得以下主要信息两个集合各有三个元素，且中有个已知元素两集合有个公共元素......”。

4、“.....方程组即可，可先根据，得或，然后列出方程组解出，值，但要特别注意集合中元素互异性规范解答因为，或，且若，则由，得若，且由得方程组无解综上，规律总结两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾情形若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合代表元素是否致，且看代表元素满足条件是否致，若均致，则两集合相等设集合若，求实数，值解析由于，所以或即或，又当时，不满足集合元素互异性集合关系判定已知集合，，，，，，则满足关系是思路分析判定两个集合是包含还是相等关系，由定义，可研究其元素间关系......”。

5、“.....注意元素用列举法或描述法给出时不同判定方法规范解答解法简单列举各集合中元素„，„，„，„，„，„由各集合中元素可以知道解法判断集合中元素共性和差异，，，，，，而，即与都表示被除余数，而表示被除余数，答案规律总结判断两个集合之间关系方法有将元素列举出来再判断从集合中元素入手，观察两个集合特征性质能否相互推出集合中元素为不等式解集时，可借助数轴判断集合中关系描述原则当⊆和均成立时，更准确反映了集合，关系当⊆和均成立时，更准确反映了集合，关系注意空集特殊性∅是任何集合子集∅是任何非空集合真子集设集合，试判断与之间关系解析任设，则，，，，故⊆又任设，则，，，......”。

6、“.....求值思路分析要注意以下几点都是以方程解为元素构成集合，即为真子集是含字母方程解答本题可由条件入手，分别按∅，∅讨论规范解答，当∅时，符合题意，当∅时，方程解为则或，或综上可知，所求值为，或规律总结分析集合关系时，首先要分析简化每个集合此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，般含用实心点表示，不含用空心点表示此类问题还应注意“空集”这“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须已知集合若⊆，求实数取值范围解析当∅时，只需，即当∅时，根据题意作出如图所示数轴，可得解得易错疑难辨析设集合且，求，值错解由时或......”。

7、“.....解出结果应代入原集合验证元素是否满足元素三个特征正解，或，解得或或代入题设条件检验当时与集合元素互异性矛盾规律总结两个集合相等时，集合若用列举法给出，其元素应完全相同，但其顺序不定相同当两集合都用描述法给出时，其特征性质应相同当时满足条件当时，，满足条件综上所述，或且，真子集有个设，若集合，则答案解析，已知集合若⊆，则实数取值范围为答案解析将集合表示在数轴上，如图所示，课堂典例讲练已知集合，且⊆，写出满足上述条件集合思路分析由题意知，中至少含有,两个元素，且中至少含有个元素才能满足是真子集，是子集规范解答⊆，为真子集，为子集......”。

8、“.....共个规律总结求集合子集问题时，般可以按照集合元素个数进行分类，再依次找出每类成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版必修集合第章集合基本关系第章课堂典例讲练易错疑难辨析课时作业课前自主预习课前自主预习根据集合定义，我们知道集合有无数多个，可以用集合来区分事物如四足动物，两足动物，绿色植物，菌类植物，植物，动物，汽车但有些集合之间有密切关系如四足动物与动物，前个集合元素都是后个集合元素，且后个集合元素个数比前个集合元素个数多很多，这两个集合之间关系如何用简短数学语言来表达呢学完本节内容就明白了！子集真子集集合相等概念概念定义符号表示图形表示子集如果集合中元素都是集合中元素若则......”。

9、“.....并且，那么集合称为集合真子集或集合相等如果集合中都是集合中元素，同时集合中都是集合中元素，称集合与集合相等⊆任何个元素任何个元素性质任何个集合是它本身，即空集是任何集合，是任何非空集合真子集对于集合，如果⊆，⊆，则对于集合，如果，，则图我们常用平面内条表示个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间关系，这种图形通常叫作图子集⊆子集⊆封闭曲线内部下列命题空集没有子集任何集合至少有两个子集空集是任何集合真子集若∅，则∅其中正确有个个个个答案解析错误空集可以是其本身子集，即∅⊆∅错误空集只有个子集错误空集本身没有真子集正确因为∅，所以集合至少有个元素故选在下列各关系中错误个数是⊆答案解析正确应该是⊆都正确，故选集合且真子集个数是答案解析且，真子集有个设，若集合，则答案解析，已知集合若⊆......”。