为越变越明变式将母题中条件“”改为“”，问题不变解由母题建系条件知当时，四边形为正方形，不妨设，则易知是平面个法向量，设是平面个法向量，则，，即取，则设二面角为，则故二面角余弦值为变式在母题条件下，试在线段上求点，使二面角大小为解在母题建系条件下,易知是平面个法向量，设且是平面个法向量则，，即取解析全国卷Ⅰ如图，四边形为菱形，是平面同侧两点，⊥平面，⊥平面⊥证明平面⊥平面求直线与直线所成角余弦值解析全国卷Ⅱ如图，长方体中点，分别在，上，过点，平面与此长方体面相交，交线围成个正方形在图中画出这个正方形不必说明画法和理由求直线与平面所成角正弦值解析解析如图，四棱柱所有棱长都相等，∩，∩，四边形和四边形均为矩形证明⊥底面若，求二面角余弦值解证明因为四边形为矩形，所以⊥，同理⊥，因为，所以⊥，而∩，因此⊥底面由题设知，，故⊥底面因为四棱柱所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此⊥又⊥底面，从而两两垂直如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系不妨设，因为，所以，于是相关各点坐标为易知是平面个法向量设是平面个法向量，则，，即，取，则所以，设二面角大小为，易知是锐角，于是，故二面角余弦值为越变越明变式将母题中条件“”改为“”，问题不变解由母题建系条件知当时，四边形为正方形，不妨设，则易知是平面个法向量，设是平面个法向量，则，，即取，则设二面角为，则故二面角余弦值为变式在母题条件下，试在线段上求点，使二面角大小为解在母题建系条件下,易知是平面个法向量，设且是平面个法向量则，，即取面角难点易错点如图所示，已知正方体分别是正方形和中心，则和所成角是解析在三棱锥中，⊥平面，，分别是棱中点，则直线与平面所成角正弦值为解析第课时空间角如图，在正方形中，，若沿将正方形折成个二面角后，∶∶∶∶，则与所成角余弦值为解析全国卷Ⅰ如图，四边形为菱形，是平面同侧两点，⊥平面，⊥平面⊥证明平面⊥平面求直线与直线所成角余弦值解析全国卷Ⅱ如图，长方体中点，分别在，上，过点，平面与此长方体面相交，交线围成个正方形在图中画出这个正方形不必说明画法和理由求直线与平面所成角正弦值解析解析如图，四棱柱所有棱长都相等，∩，∩，四边形和四边形均为矩形证明⊥底面若，求二面角余弦值解证明因为四边形为矩形，所以⊥，同理⊥，因为，所以⊥，而∩，因此⊥底面由题设知，，故⊥底面因为四棱柱所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此⊥又⊥底面，从而两两垂直如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系不妨设，因为，所以，于是相关各点坐标为易知是平面个法向量设是平面个法向量，则，，即，取，则所以，设二面角大小为，易知是锐角，于是，故二面角余弦值为越变越明变式将母题中条件“”改为“”，问题不变解由母题建系条件知当时，四边形为正方形，不妨设，则易知是平面个法向量，设是平面个法向量，则，，即取，则设二面角为，则故二面角余弦值为变式在母题条件下，试在线段上求点，使二面角大小为解在母题建系条件下,易知是平面个法向量，设且是平面个法向量则，，即取，则则由，知，即，即在线段上存在点且，使二面角大小为破译玄机已知二面角大小逆向求解探索问题关键是利用向量法求二面角大小建立方程，但要注意所求线段上点坐标设法“课后三维演练”见“课时跟踪检测四十八”单击进入电子文档解析全国卷Ⅰ如图，四边形为菱形，是平面同侧两点，⊥平面，⊥平面⊥证明平面⊥平面求直线与直线所成角余弦值解析全国卷Ⅱ如图，长方体中点，分别在，上，过点，平面与此长方体面相交，交线围成个正方形在图中画出这个正方形不必说明画法和理由求直线与平面所成角正弦值解析解析如图，四棱柱所有棱长都相等，∩，∩，四边形和四边形均为矩形证明⊥底面若，求二面角余弦值解证明因为四边形为矩形，所以⊥，同理⊥，因为，所以⊥，而∩，因第七节立体几何中向量方法，平面与相交于直线，平面法向量为，平面法向量为，则二面角为或设二面角大小为，则，如图解析在正方体中，点为中点，则平面与平面所成锐二面角余弦值为解析教材习题改编在长方体中，则与平面所成角正弦值为解析解析如图，建立空间直角坐标系，则，设平面个法向量为，由，，得令，得，设与平面所成角为，则，，即直线与平面所成角正弦值为答案求异面直线所成角时易忽视角范围，而导致结论错误求直线与平面所成角时，注意求出夹角余弦值绝对值应为线面角正弦值利用平面法向量求二面角大小时，当求出两半平面，法向量，时，要根据向量坐标在图形中观察法向量方向，从而确定二面角与向量，夹角是相等个平面法向量指向二面角内部，另个平面法向量指向二面角外部，还是互补两个法向量同时指向二面角内部或外部，这是利用向量求二面角难点易错点如图所示，已知正方体分别是正方形和中心，则和所成角是解析在三棱锥中，⊥平面，，分别是棱中点，则直线与平面所成角正弦值为解析第课时空间角如图，在正方形中，，若沿将正方形折成个二面角后，∶∶∶∶，则与所成角余弦值为解析全国卷Ⅰ如图，四边形为菱形，是平面同侧两点，⊥平面，⊥平面⊥证明平面⊥平面求直线与直线所成角余弦值解析全国卷Ⅱ如图，长方体中点，分别在，上，过点，平面与此长方体面相交，交线围成个正方形在图中画出这个正方形不必说明画法和理由求直线与平面所成角正弦值解析解析如图，四棱柱所有棱长都相等，∩，∩，四边形和四边形均为矩形证明⊥底面若，求二面角余弦值解证明因为四边形为矩形，所以⊥，同理⊥，因为，所以⊥，而∩，因此⊥底面由题设知，，故⊥底面因为四棱柱所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此⊥又⊥底面，从而两两垂直如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系不妨设，因为，所以，于是相关各点坐标为易知是平面个法向量设是平面个法向量，则