值域为解析函数定义域为，则当时当时，当且仅当时等号成立故函数值域为，，已知为常数，在，上有最小值，那么在，上最大值是解析单调增区间为减区间为最大值为已知，若函数在，上最大值为，最小值为求表达式求表达式并说出其最值解析因为在，范围内处取得，第题则转化为用基本不等式求最值备选题例已知二次函数，若且函数值域为，，求函数解析式若，且函数在，上有两个零点，求取值范围解析因为，所以因为函数值域为，，所以方程有两个相等实数根，即有等根，故，所以解法因为在，上有两个零点，且，所以有，⇒，通过线性规划可得解法二设两个零点分别为所以不妨设因为，且所以因为，所以点评由元二次方程根分布可列出关于参数不等式组，然后利用线性规划求最值即可函数值域是函数值集合，它受到定义域制约，故求值域时应首先考虑定义域求值域方法很多，是要掌握基本初等函数及它们复合函数值域二是要掌握利用单调性求值域三是要掌握利用导数法求值域这是三种最基本方法，此外还有基本不等式法数形结合法等求最值可由值域而得到，但我们也要重视最值概念，注意检验是否具备取得最值条件分离参数在不等式恒成立问题中常常用到，注意对该类题理解，分清“主元”和“参数”与最值有关“恒成立”意义恒成立⇔，恒成立⇔与最值有关“存在性”意义定义域内存在，使⇔定义域内存在，使⇔浙江已知函数，则，最小值是解析，当时当时当且仅当时等号成立，故最小值为下列函数中，最小值为是解析中函数无最小值，中函数无最小值，中，最小值为，中函数无最小值函数，若是最小值，则取值范围为解析当时，由数形结合可知，显然不是最小值，当时故只需，解得，已知函数解得，故选若函数定义域为，，值域为，，则值为解析根据题意，因为，可知函数在定义域上是先减后增或先减后增，再减再增所以存在满足，即，所以，所以有，即，求得，即函数值域为解析函数定义域为，则当时当时，当且仅当时等号成立故函数值域为，，已知为常数，在，上有最小值，那么在，上最大值是解析单调增区间为减区间为最大值为已知，若函数在，上最大值为，最小值为求表达式求表达式并说出其最值解析因为在，范围内数值域二是要掌握利用单调性求值域三是要掌握利用导数法求值域这是三种最基本方法，此外还有基本不等式法数形结合法等求最值可由值域而得到，但我们也要重视最值概念，注意检验是否具备取得最值条件分离参数在不等式恒成立问题中常常用到，注意对该类题理解，分清“主元”和“参数”与最值有关“恒成立”意义恒成立⇔，恒成立⇔与最值有关“存在性”意义定义域内存在，使⇔定义域内存在，使⇔浙江已知函数，则，最小值是解析，当时当时当且仅当时等号成立，故最小值为下列函数中，最小值为是解析中函数无最小值，中函数无最小值，中，最小值为，中函数无最小值函数，若是最小值，则取值范围为解析当时，由数形结合可知，显然不是最小值，当时故只需，解得，已知函数解得，故选若函数定义域为，，值域为，，则值为解析根据题意，因为，可知函数在定义域上是先减后增或先减后增，再减再增所以存在满足，即，所以，所以有，即，求得，即函数值域为解析函数定义域为，则当时当时，当且仅当时等号成立故函数值域为，，已知为常数，在，上有最小值，那么在，上最大值是解析单调增区间为减区间为最大值为已知，若函数在，上最大值为，最小值为求表达式求表达式并说出其最值解析因为在，范围内，所以当时，函数取得最小值即当，即时，则时，函数取得最大值当，即时，则时，函数取得最大值综上，得，故最小值为最大值为对定义域分别为函数，规定函数，当且，当且∉，当∉且若函数写出函数解析式求问题中函数值域解析定义域，，，定义域，，所以，，，，当时，若，则，当且仅当时，等号成立若，则，，当且仅当时取等号当时综上知值域为或或处取得，第题则转化为用基本不等式求最值备选题例已知二次函数，若且函数值域为，，求函数解析式若，且函数在，上有两个零点，求取值范围解析因为，所以因为函数值域为，，所以方程有两个相等实数根，即有等根，故，所以解法因为在，上有两个零点，且，所以有，⇒，通过线性规划可得解法二设两个零点分别为所以不妨设因为，且第讲函数值域及最值学习目标理解函数值域与最值意义熟练掌握基本初等函数值域掌握求函数值域和最值基本方法基础检测下列函数中，定义域和值域都相同是和和和和解析中两函数值域不同中两函数值域不同，定义域也不同中两函数定义域不同中定义域值域都相同函数值域为解析当时，时当时，值域为，下列各函数中，值域为，是解析由题可知，对于选项有，此函数为定义域为指数函数，其值域为，对于选项，不会大于，其值域不是，对于选项，，其值域为，对于选项，中，故，其值域不是，函数在区间，上值域为，解析，所以在，上单调递增，在，单调递减，所以所以值域为，知识要点函数值域函数值域是集合，记为，，其中为定义域常见函数值域次函数值域为二次函数，当时，值域为当时，值域为反比例函数值域为指数函数且值域为函数值，，，，，对数函数且值域为正余弦函数，值域为正切函数值域为函数最值般地，设函数定义域为，如果存在实数∀若∃则称为若∀，且∃则称为，最大值最小值求函数值域例求下列函数值域函数，函数解析不等式法，且，函数值域是利用绝对值几何意义可知表示到距离与到距离之差，结合数轴可知值域为，因为，所以，当，即时，有最小值，即函数值域是，当时，，当时，所以值域为，点评求解函数值域，根据不同解析式，采用思路和方法般不同，要熟练地掌握各种求解思路求函数值域常用方法不等式法形如或值域常用基本不等式单调性法若为单调函数，可利用单调性直接求解换元法换元时，务必注意新变量取值范围，否则将会扩大取值范围二求函数最值例求下列函数最值，，解析，令得或，而当时当或时，令，则，当且仅当时故当时无最大值点评如第题，连续函数在闭区间上定有最大最小值，它们定在端点或极值点处取得，第题则转化为用基本不等式求最值备选题例已知二次函数，若且函数值域为，，求函数解析式若，且函数在，上有两个零点，求取值范围解析因为，所以因为函数值域为，，所以方程有两个相等实数根，即有等根，故，所以解法因为在，上有两个零点，且，所以有，⇒，通过线性规划可得解法二设两个零点分别为所以不妨设因为，且所以因为，所以点评由元二次方程根分布可列出关于参数不等式组，然后利用线性规划求最值即可函数值域是函数值集合，它受到