在，上最小值为综上，当时，函数最小值是当时，函数最小值是点评要注意定义域对值域限制作用，即在定义域内用相应方法求值域要注意参数对值域影响，即要分类讨论要注意数形结合思想应用，即借助图象确定函数值域或最值二次函数元二次不等式和元二次方程是个有机整体，要深刻理解它们之间关系，运用函数方程思想方法将它们进行适当转化，这是准确迅速解决此类问题关键对二次函数在，上最值研究是本讲内容重点，对如下结论必须熟练掌握当，时，是它个最值，另个最值在区间端点取得当∉，时，最大值和最小值分别在区间两个端点处取得二次函数在个区间上最值问题处理，常常要利用数形结合思想和分类讨论思想，当二次函数表达式中含有参数或所给区间变化时，需要考察二在，上是单调增函数，求实数取值范围求函数在，最小值解析由条件设二次函数，设两根为且，因为图象在轴上截得线段长为，由韦达定理得，解得，所以函数解析式为而函数在，上是单调增函数，对称轴在，左侧对称轴，当时当点评求解二次函数在闭区间上最值问题，定要根据对称轴与区间相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数取值情况进行分类讨论，避免漏解本例易出现错误是直接利用二次函数最值在对称轴处取得这性质，而忽视对称轴与闭区间位置关系，不进行分类讨论三二次函数综合问题例设二次函数满足下列条件当时，其最小值为，且成立当，时，恒成立求值求解析式求最大实数，使得存在，只要当，时，就有成立解析在中令，有，故由知二次函数开口向上且关于对称，故可设此二次函数为，又由代入求得故假设存在，只要就有取，有，即，解得，对固定取，有，即，化简得，解得，故，时，对任意恒有，最大值为点评本题综合考查了二次函数二次方程二次不等式等基础知识和运用这些知识分析问题解决问题能力，综合性较强备选题例设为实数，函数求最小值解析当时，若，则函数在，上单调递减，从而函数在，上最小值为若，则函数在，上最小值为，且当时，若，则函数在，上最小值为，且若，则函数在，上单调递增，从而函数在，上最小值为综上，当时，函数最小值是当时，函数最小值是点评要注意定义域对值域限制作用，即在定义域内用相应方法求值域要注意参数对值域影响，即要分类讨论要注意数形结合思想应用，即借助图象确定函数值域或最值二次函数元二次不等式和元二次方程是个有机整体，要深刻理解它们之间关系，运用函数方程思想方法将它们进行适当转化，这是准确迅速解决此类问题关键对二次函数在，上最值研究是本讲内容重点，对如下结论必须熟练掌握当，时，是它个最值，另个最值在区间端点取得当∉，时，最大值和最小值分别在区间两个端点处取得二次函数在个区间上最值问题处理，常常要利用数形结合思想和分类讨论思想，当二次函数表达式中含有参数或所给区间变化时，需要考察二图象只可能是解析根据指数函数可知，同号且不相等，则二次函数对称轴可排除与选项则指数函数单调递减，故正确，故选若二次函数满足，则等于解析由得已知关于方程两个实数根，满足，，则实数取值范围是，，，，解析由题意可知，，即，若方程有实数根，则所有实数根和可能是解析作出函数或图象与直线所有交点横坐标都是已知方程根，由图可知当时，显然有两个根所以其和为当时，已知方程有两根，关于对称，所以其和为，当时，已知方程没有实根，故知所有实数根和可能是故选设，若又，函数，若对任意正整数均成立，则取值范围是，可得，化简得⇒，则在，上为单调递增函数，但考虑到为二次函数，且单调性只需满足整数点，所以二次函数对称轴满足，而不是对称轴，解得已知函数，为实数，，若函数图象过点且方程有且只有个实根，求表达式在条件下，当，时，是单调函数，求实数取值范围解析因为，即，所以因为方程有且只有个根，即所以，即，所以因为所以当或，即或时，是单调函数设函数若对于切实数恒成立，求取值范围若对于任意恒成立，求取值范围解析要使恒成立，若，显然若，则⇒所以取值范围是，要使在，上恒成立，就是要使在，上恒成立有以下两种方法方法令，，当时，在，上是增函数，所以，所以，则当时恒成立当时，在，上是减函数，所以所以，所以综上所述，取值范围是方法二因为，又因为，所以因为函数在，上最小值为，所以只需即可所以，取值范围是在，上是单调增函数，求实数取值范围求函数在，最小值解析由条件设二次函数，设两根为且，因为图象在轴上截得线段长为，由韦达定理得，解得，所以函数解析式为而函数在，上是单调增函数，对称轴在，左侧对称轴，当时当点评求解二次函数在闭区间上最值问题，定要根据对称轴与区间相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数取值情况进行分类讨论，避免漏解本例易出现错第讲二次函数学习目标熟练掌握二次函数概念图象性质及其与元二次方程元二次不等式联系基础检测二次函数图象如图所示，则下列结论为方程个解其中正确有个个个个解析由函数图像可知，由此结论可知错误，其余四个正确函数在，上是增函数，则实数取值范围是解析因为函数，所以其对称轴为，所以函数在，上为增函数，又函数在，上是增函数，所以，即，选设二次函数在区间，上单调递减，且，则实数取值范围是，，，解析二次函数在区间，上单调递减，则，在区间，恒成立，所以，即函数图象开口向上，对称轴是直线所以，则当时，有已知函数个零点大于，另个零点小于，则实数取值范围为，解析令，则由得实数取值范围为本题可结合二次函数图像理解，也可从零点存在定理理解二次函数在，有个根，在，有另根，而时，恒大于零，所以已知，若在，上恒成立，则实数取值范围是，解析作出函数在区间，上图象，以及图象，由图象可知当直线在阴影部分区域时，条件在，恒成立，如图，点，所以，即实数取值范围是，知识要点函数叫做二次函数，它定义域是，这是二次函数般形式另外，还有顶点式，其中，是抛物线顶点坐标两根式，其中，是抛物线与轴交点横坐标二次函数图象是条，经过配方，可得，顶点为，对称轴为直线抛物线，二次函数解析式及求法例已知二次函数，当时函数取最小值，且求解析式若在区间，上不单调，求实数取值范围解析由条件，设，又，则，所以当，时，由题意因其在区间，上不单调，则有，解得点评求解二次函数解析式般有三种方法般式法已知三点，般设为般式，即交点式法已知与轴交点坐标为般设为顶点式法已知顶点坐标为可以设顶点式为二二次函数最值例二次函数图像顶点为且图象在轴上截得线段长为求函数解析式令若函数在，上是单调增函数，求实数取值范围求函数在，最小值解析由条件设二次函数，设两根为且，因为图象在轴上截得线段长为，由韦达定理得，解得，所以函数解析式为而函数在，上是单调增函数，对称轴在，左侧对称轴，当时当点评求解二次函数在闭区间上最值问题，定要根据对称轴与区间相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数取值情况进行分类讨论，避免漏解本例易出现错误是直接利用二次函数最值在对称轴处取得这性质，而忽视对称轴与闭区间位置关系，不进行分类讨论三二次函数综合问题例设二次函数满足下列条件当时，其最小值