例求证证左右所以原式成立二积化和差与差化积的三角变换例计算解四证明三角恒等式例证明为方便计算令，原式变为证明左边代入上式消去原式对所以原式由等于三求三角表达式的值例已知，求的值解原式所以原式积的三角变换例计算解右所以原式成立二积化和差与差化倍角和半角的三角变换在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧及例求证证左，由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数引出复数的指数表示法，从而使得复数的表示法增加为代数形式三角形式和指数形式三种形式，便于我们酌情使用三欧拉公式在三角函数中的应用从而通过指数函数来研究三角函数的性质在欧拉公式中用代替，则由，得到，，由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示，欧拉公式的桥梁作用纯虚指数值可以通过三角函数值来计算例如，，，变换的难度观察这几个公式，与互为倒数，积为，这过程常常在证明过程中被应用在以上公式的推导过程中，分别令，得到以下式子，得出最重要的四个公式这些公式具有以下特点实质上，这些公式给出了三角函数的复指数形式，故代入三角变换中，便将三角运算化为指数函数的代数运算，使三角运算从多种思考方法化为单思考方法，从而降低了三角又因为由此便其中为实数，则由式得则得得，故于是便证得欧拉公式还可以推广到以下形式已知欧拉公式，故于是便证得欧拉公式还可以推广到以下形式已知欧拉公式其中为实数，则由式得则得得又因为由此便得出最重要的四个公式这些公式具有以下特点实质上，这些公式给出了三角函数的复指数形式，故代入三角变换中，便将三角运算化为指数函数的代数运算，使三角运算从多种思考方法化为单思考方法，从而降低了三角变换的难度观察这几个公式，与互为倒数，积为，这过程常常在证明过程中被应用在以上公式的推导过程中，分别令，得到以下式子，欧拉公式的桥梁作用纯虚指数值可以通过三角函数值来计算例如，，，，由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示，从而通过指数函数来研究三角函数的性质在欧拉公式中用代替，则由，得到，，由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数引出复数的指数表示法，从而使得复数的表示法增加为代数形式三角形式和指数形式三种形式，便于我们酌情使用三欧拉公式在三角函数中的应用倍角和半角的三角变换在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧及例求证证左右所以原式成立二积化和差与差化积的三角变换例计算解所以原式等于三求三角表达式的值例已知，求的值解原式由代入上式消去原式对所以原式四证明三角恒等式例证明为方便计算令，原式变为证明左边右边左边例求证证明而五解三角方则化为由三角不等式知，所以复常数，同理复常数，又，分别满足方程，即，可见，的系数行列式，从而必存在整数使得九欧拉公式大降幂在高等数学中常会遇到高次幂的正余弦函数，这些函数在计算上很不方便，欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为次幂函数的代数和，克服了高次幂函数在运算上的不方便首先我们先介绍下欧拉公式在三角函数中的降幂使用正弦大降幂综上正弦大降幂规则如下括号前的系数视的奇偶而定当时系数为，当时系数为括号内符号正负相同当时括号内各项均为余弦，依次为当时，括号内各项均为正弦，依次为，，余弦大降幂综上余弦大降幂规则如下括号前的系数为括号内全部是号括号内各项均为余弦当时，依次为，当时，依次为，正余弦大降幂的应用求傅里叶级数例求的傅立叶级数解由于是为周期的连续函数，所以它的傅立叶级数展开式唯，即求阶导数例求的阶导数解求积分例求例求解令，则，，在，上的值，十三角函数的求积例不查表，计算解十条件等式的证明例已知，均为锐角且，求证证明由，得到得由三角变换得，因为，均为锐角，所以也为锐角，即知，所以原式得证结束语欧拉公式在数学的许多定理和计算中，有着广泛的应用它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了座桥梁本文通过实例的形式说明欧拉公式在三角函数中的应用，在求三角表达式的值证明三角恒等式解决些方程根的问题求三角级数的和解决高次幂的三角函数时，都应用到了欧拉公式，从而避免了复杂的三角变换，使得问题迎刃而解，在三角中的应用能够利用较为直观代数运算使得问题得到解决在探求些复杂的三角关系时，如果不借助欧拉公式，而试图通过纯三角运算直接推导这些关系是相当麻烦的本文在