点，则，是所求角同样可求得判断有关空间位置关系命题真假关键是熟悉基本定理熟练模型使用与模拟实验证明若干点共线，通常证明这些点都是两个平面公共点，根据公理，这些点都在交线上或选择其两点确定条直线，然后证明其他点都在这条直线上证明若干条直线共点与证明若干点共线方法类似，都可以转化成证明“点在直线上”问题证明两条直线交点在第条直线上证明若干元素点或直线共面，常用两种方法方法是根据公理或推论确定个平面，然后再证其他元素也在这个平面内方法二是根据公理或其推论确定两个平面，然后再证明这两个平面重合求异面直线所成角，常用平移转化法，即平移条或两条作出夹角，再解三角形注意当用平移转化法繁琐或无法平移时，可考虑两条异面直线是否垂直两条异面直线所成角不超过证明两直线是异面直线常用方法是“判定定理”和“反证法”，其中，相交平行直线在平面内平行相交位置关系图示符号语言公共点个数直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行直线与平面位置关系∩无数个平面与平面位置关系位置关系图示符号语言公共点个数两平面平行两平面相交∩无数个平面基本性质及公理应用例如图，正方体棱长为，为中点，为线段上动点，过点平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确是写出所有正确命题编号当时，为四边形当时，为等腰梯形当时，与交点满足当时，为六边形当时，面积为解析对于，当时，过点在面内作平行线交于线段处，故截面为四边形对于，当时，同作法可知，此时截面为，且，故该截面为等腰梯形对于，当时，过点在面内作平行线交于线段于点，且，然后再过点在面内作平行线交于点，且满足，此时截面是五边形对于，由可知，当时，截面是五边形，故错误对于，当时，即点在处，取中点，此时过点截面是菱形，边长为，其中条对角线，所以可得截面面积为综上，答案是二空间直线位置关系例是空间三条直线，下面给出四个命题如果⊥，⊥，则如果，是异面直线是异面直线，则，也是异面直线如果，相交相交，则，也相交如果，共面共面，则，也共面上述命题中，真命题个数是为空间四边形，不同两点，，不同两点，，求证和是异面直线解析如果⊥，⊥，则与或共面相交，平行或异面，故错如果，异面异面，则，或相交或平行或异面，故错如果，相交相交，则与或相交或平行或异面，故错如果，共面共面，则，或共面或异面，故错证明假设，共面，记为，则，，从而，⊂，⊂，，这与，是空间四边形矛盾，是异面直线点评异面直线判定方法定义法依据定义判断两直线不可能在同平面内定理法过平面内点与平面外点直线与平面内不经过该点直线为异面直线此结论可作为定理使用反证法即假设两直线不是异面直线，那么它们是共面直线即假设两直线相交或平行，结合原题中条件，得出矛盾，否定假设，肯定两条直线异面三异面直线所成角例如图，正四棱锥底面积为，体积为，为侧棱中点，则与所成角为已知正四棱柱中为中点，则异面直线与所成角余弦值为解析连结交于点，连结，易得所求角为由所给条件易得，，，选如图，连接因为，所以即为与所成角或其补角在中，设，则，所以所以点评求异面直线所成角常采用“平移线段法”，平移方法般有三种类型利用图中已有平行线段平移利用特殊点线段端点或中点作平行线平移补形平移计算异面直线所成角通常放在三角形中进行注意异面直线夹角取值范围是因此异面直线平行线夹角可能是异面直线夹角，也可能是其补角，应取其中不超过那个找平行线是求异面直线夹角关键备选题例已知是直三棱柱，分别是，中点若，则与所成角余弦值为解析解法如图在平面内把线段平移到，则就是所求角设，则，解法二把直三棱柱补成个直四棱柱，取中点，则，是所求角同样可求得判断有关空间位置关系命题真假关键是熟悉基本定理熟练模型使用与模拟实验证明若干点共线，通常证明这些点都是两个平面公共点，根据公理，这些点都在交线上或选择其两点确定条直线，然后证明其他点都在这条直线上证明若干条直线共点与证明若干点共线方法类似，都可以转化成证明“点在直线上”问题证明两条直线交点在第条直线上证明若干元素点或直线共面，常用两种方法方法是根据公理或推论确定个平面，然后再证其他元素也在这个平面内方法二是根据公理或其推论确定两个平面，然后再证明这两个平面重合求异面直线所成角，常用平移转化法，即平移条或两条作出夹角，再解三角形注意当用平移转化法繁琐或无法平移时，可考虑两条异面直线是否垂直两条异面直线所成角不超过证明两直线是异面直线常用方法是“判定定理”和“反证法”，其中面体中求解，也可以借助教室中实物帮助求解在如图所示正六面体中，不妨设为直线，为直线，则直线，可以是也可以是也可以是这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选下列命题中正确是若直线上有无数个点不在平面内，则若直线与平面平行，则与平面内任意条直线都平行如果两条平行直线中条与个平面平行，那么另条也与这个平面平行若直线与平面平行，则与平面内任意条直线都没有公共点解析若直线上有无数个点不在平面内，则或直线与平面相交，错误若直线与平面平行，则与平面内任意条直线都没有公共点，错误，正确如果两条平行直线中条与个平面平行，那么另条与这个平面平行或在这个平面内，错误湖北，表示空间中两条直线，若，是异面直线不相交，则是充分条件，但不是必要条件是必要条件，但不是充分条件是充分必要条件既不是充分条件，也不是必要条件解析根据空间两条直线位置关系和充要条件定义进行判断若，异面，则，定不相交若，不相交，则，是平行直线或异面直线，故⇒，⇒，故是充分不必要条件点，分别为空间四边形中，中点，若，且与所成角大小为，则四边形是梯形空间四边形正方形有内角为菱形解析点，分别为空间四边形中，中点，綊，綊并且所成角为直角，四边形为正方形如图所示，在正三棱柱中，底面边长和高均为，为中点，则异面直线与所成角正弦值等于解析如图所示，取中点，连接在中，所以，故为异面直线与所成角或其补角在中故，在等边中在中在中故，在中，，所以异面直线与所成角余弦值为，故故选个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论⊥与所成角为与是异面直线以上四个命题中，正确命题序号是如图所示，平面⊥平面，四边形与都是直角梯形，，綊，綊分别为，中点证明四边形是平行四边形，四点是否共面为什么解析证明由题意知，綊，又綊，綊故四边形是平行四边形，四点共面理由如下由綊，是中点知，綊，，由知，所以，故，共面又点在直线上，所以，四点共面如图所示，等腰直角三角形中，⊥⊥若，且为中点求异面直线与所成角余弦值解析取中点，连接在中，分别是中点或其补角即为异面直线与所成角在中在中在中，在等腰三角形中，异面直线与所成角余弦值为右图为简单组合体，其底面为正方形，⊥平面，，且求证平面若，求两异面直线与所成角大小解析证明连结与交于点，取中点，连结为中点，且，又且且，四边形为平行四边形，即，又⊂平面，⊄平面，平面连结，，是两异面直线与所成角或补角在中，⊥，由已知求得，两异面直线与所成角为，相交平行直线在平面内平行相交位置关系图示符号语言公共点个数直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行直线与平面位置关系∩无数个平面与平面位置关系位置关系图示符号语言公共点个数两平面平行两平面相交∩无数个平面基本性质及公理应用例如图，正方体棱长为，为中点，为线段上动点，过点平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确是写出所有正确命题编号当时，为四边形当时，为等腰梯形当时，与交点满足当时，为六边形当时，面积为解析对于，当时，过点在面内作平行线交于线段处，故截面为四边形对于，当时，同第讲空间点直线平面之间位置关系学习目标掌握平面基本性质，并能利用其证明共面共线共点问题掌握点线面关系文字语言符号语言图形语言密切联系及相互转化掌握空间两条直线位置关系，并能够证明两条直线异面关系及求两条异面直线所成角掌握两条直线平行和垂直关系有关概念，并能用上述概念进行论证和解决有关问题基础检测已知，表示两条不同直线，表示平面下列说法正确是若，，则若⊥，⊂，则⊥若⊥，⊥，则若，⊥，则⊥解析利用直线与平面平行和垂直判定定理直接判断或利用正方体判断方法若，，则，可能平行相交或异面，错若⊥，⊂，则⊥，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任直线，正确若⊥，⊥，则或⊂，错若，⊥，则与可能相交，可能平行，也可能⊂，错方法二如图，在正方体中，用平面表示项中，若为，为，满足，，但与是相交直线，故错项中，⊥，⊂，⊥，这是线面垂直性质，故正确项中，若为，为，满足⊥，⊥，但⊂，故错项中，若为，为，满足，⊥，但，故错是空间中三条直线，下面给出五个命题若，，则若⊥，⊥，则若与相交，与相交，则与相交若⊂平面，⊂平面，则，定是异面直线若，与成等角，则上述命题中正确命题是只填序号已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面直线满足⊥，⊥，⊄，⊄，则且⊥且⊥与相交，且交线垂直于与相交，且交线平行于解析⊥，⊥平面，⊄，，同理若，则，与，为异面直线矛盾，故与相交，且交线平行于如图，正方体底面与正四面体底面在同平面上，且，则直线与正方体六个面所在平面相交平面个数为解析取中点，连接，在正四面体中，由于⊥，⊥，所以⊥平面，所以⊥平面，则平面与正方体左右两侧面平行，则也与之平行，则与其余四个平面相交已知正方体中分别为，中点，那么异面直线与所成角余弦值为解析连接，则，即为异面直线与所成角设正方体棱长为，则，知识要点平面基本性质公理如果条直线上两点在个平面内，那么这个平面内公理过上三点有且只有个平面三个推论经过条直线和点确定个平面经过两条直线确定个平面经过确定个平面其外相交两条平行直线公理如果两个不重合平面有个公共点，那么它们有且只有条经过这个公共点公共直线这条直线上所有点都在不在同直线直线与直线位置关系空间两直线位置关系有三种公理平行于同直线两条直线互相等角定理如果两个角两边对应平行，那么这两个角已知，为异面直线，过空间任点作，，则，所成叫异面直线所成角，异面直线所成角范围是直线与平面关系三种平面与平面关系两种平行相交异面平行相等或互补锐角或直角，相交平行直线在平面内平行相交位置关系图示符号语言公共点个数直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行直线与平面位置关系∩无数个平面与平面位置关系位置关系图示符号语言公共点个数两平面平行两平面相交∩无数个平面基本性质及公理应用例如图，正方体棱长为，为中点，为线段上动点，过点平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确是写出所有正确命题编号当时，为四边形当时，为等腰梯形当时，与交点满足当时，为六边形当时，面积为解析对于，当时，过点在面内作平行线交于线段处，故截面为四边形对于，当时，同作法