为非零向量夹角公式，⊥⇔等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度垂直问题解决向量的夹角问题时要注意方法的选择，可以用定义法坐标法以及图形法求解，解得答案规律方法根据平面向量数量积的性质若设即又，由⊥，知，即的夹角为，且，若，且⊥，则实数的值为解析由⊥得，即又，选答案考点二平面向量的夹角与垂直例重庆卷若非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为已知向量与即，取，为组基底四川卷设四边形为平行四边形，若点，满足则等于解析，减运算或数量积的运算律化简再运算但定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补训练温州适应性测试在中，若，则的最小值是答案规律方法求两个向量的数量积有三种方法利用定义利用向量的坐标运算利用数量积的几何意义解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加，故的最大值为法三由图知，无论点在哪个位置，在方向上的投影都是，当运动到点时，在方向上的投影最大即为所以设则所以，因为所以选答案焦作模拟如图，平行四边形中，，点在边上，且，则等于解析，全国Ⅱ卷向量则等于解析因为所以得，而不是向量两个向量的数量积是个实数，向量的加减数乘运算的运算结果是向量若，则和的夹角为锐角若，则和的夹角为钝角，则合律分配律诊断自测判断正误在括号内打或“”两个向量的夹角的范围是，向量在另个向量方向上的投影为数量，当且仅当时等号成立⇔平面向量数量积的运算律交换律结合当且仅当时等号成立⇔平面向量数量积的运算律交换律结合律分配律诊断自测判断正误在括号内打或“”两个向量的夹角的范围是，向量在另个向量方向上的投影为数量，而不是向量两个向量的数量积是个实数，向量的加减数乘运算的运算结果是向量若，则和的夹角为锐角若，则和的夹角为钝角，则全国Ⅱ卷向量则等于解析因为所以得选答案焦作模拟如图，平行四边形中，，点在边上，且，则等于解析所以设则所以，因为所以故的最大值为法三由图知，无论点在哪个位置，在方向上的投影都是，当运动到点时，在方向上的投影最大即为，答案规律方法求两个向量的数量积有三种方法利用定义利用向量的坐标运算利用数量积的几何意义解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补训练温州适应性测试在中，若，则的最小值是四川卷设四边形为平行四边形，若点，满足则等于解析，即，取，为组基底选答案考点二平面向量的夹角与垂直例重庆卷若非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为已知向量与的夹角为，且，若，且⊥，则实数的值为解析由⊥得，即又，设即又，由⊥，知，即，解得答案规律方法根据平面向量数量积的性质若，为非零向量夹角公式，⊥⇔等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度垂直问题解决向量的夹角问题时要注意方法的选择，可以用定义法坐标法以及图形法求解，在用定义法求解的过程中要注意运算的准确率第讲平面向量的数量积及其应用最新考纲理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系知识梳理平面向量数量积的有关概念向量的夹角已知两个非零向量和，记则叫做向量与的夹角数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积或内积，记作，即，规定零向量与任向量的数量积为，即数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量为向量，的夹角数量积模夹角两非零向量⊥的充要条件⇔当且仅当时等号成立⇔平面向量数量积的运算律交换律结合律分配律诊断自测判断正误在括号内打或“”两个向量的夹角的范围是，向量在另个向量方向上的投影为数量，而不是向量两个向量的数量积是个实数，向量的加减数乘运算的运算结果是向量若，则和的夹角为锐角若，则和的夹角为钝角，则全国Ⅱ卷向量则等于解析因为所以得选答案焦作模拟如图，平行四边形中，，点在边上，且，则等于解析所以选答案石家庄模拟已知平面向量，的夹角为，则解析，答案人教必修例改编合律分配律诊断自测判断正误在括号内打或“”两个向量的夹角的范围是，向量在另个向量方向上的投影为数量，全国Ⅱ卷向量则等于解析因为所以得所以设则所以，因为所以，答案规律方法求两个向量的数量积有三种方法利用定义利用向量的坐标运算利用数量积的几何意义解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加四川卷设四边形为平行四边形，若点，满足则等于解析的夹角为，且，若，且⊥，则实数的值为解析由⊥得，即又，解得答案规律方法根据平面向量数量积的性质若，