TOP57【新步步高】（浙江专用）2016高考数学二轮专题突破专题四立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向量方法理.doc文档免费在线阅读

则线面夹角设直线与平面的夹角为，则，面面夹角设平面的夹角为，则，例安徽如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，为的中点，过的平面交于证明∥求二面角的余弦值思维升华运用空间向量坐标运算求空间角的般步骤建立恰当的空间直角坐标系求出相关点的坐标写出向量坐证明设为的中点，由题意得⊥平面，所以⊥因为，所以⊥故⊥平面由，分别为，的中点，得∥且，从而∥的中点，连接，由于綊綊，因此有綊，则与所成的角即为异面直线与所成的角设，则，因此方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解如图，取异面直线所成的角由于，三棱柱为直三棱柱，且，可将三棱柱补成正方体建立如图所示空间直角坐标系设正方体棱长为，则可得求直线与平面所成角的大小当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为学生用书答案精析第讲立体几何中的向量方法高考真题体验方法补成正方体，利用向量的方法求浙江名校联考如图，为圆的直径，点在圆上，∥，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直已知，求证平面⊥平面将翻折成，使平面⊥平面，则二面角的余弦值为已知正方体的棱长为，分别为的中点，则点到平面的距离为，则的形状是钝角三角形直角三角形锐角三角形无法确定温州质检如图所示，在矩形中，点，分别在线段，上，沿直线，分别为线段，上的点，且，证明⊥平面求二面角的余弦值组能力提高设，是空间不共面的四个点，且满足⊥底面分别是，的中点求证∥平面求证平面⊥平面重庆如图，三棱锥中，⊥平面向量与向量的夹角是④正方体的体积为其中正确命题的序号是如图，在底面是矩形的四棱锥中，直角坐标系中，已知现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为已知为正方体，的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于在棱长为的正方体中分别为，的中点，那么直线与所成角的余弦值为在则与平面的位置关系是相交平行垂直不能确定如图，三棱锥的棱长全相等，为的中点，则直线与所成角的余弦值为已知正三棱柱的垂线在平面内如图，点是单位正方体中异于的个顶点，则的值为或任意实数如图所示，正方体的棱长为，分别为和上的点轮专题强化练专题四第讲立体几何中的向量方法组专题通关已知平面，点是空间任意点，点满足条件，则直线与平面平行是平面的斜线是平面是矩形，∥，⊥平面，且，分别为的中点求证∥平面求二面角的余弦值提醒完成作业专题四第讲二轮是矩形，∥，⊥平面，且，分别为的中点求证∥平面求二面角的余弦值提醒完成作业专题四第讲二轮专题强化练专题四第讲立体几何中的向量方法组专题通关已知平面，点是空间任意点，点满足条件，则直线与平面平行是平面的斜线是平面的垂线在平面内如图，点是单位正方体中异于的个顶点，则的值为或任意实数如图所示，正方体的棱长为，分别为和上的点则与平面的位置关系是相交平行垂直不能确定如图，三棱锥的棱长全相等，为的中点，则直线与所成角的余弦值为已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于在棱长为的正方体中分别为，的中点，那么直线与所成角的余弦值为在直角坐标系中，已知现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为已知为正方体向量与向量的夹角是④正方体的体积为其中正确命题的序号是如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面分别是，的中点求证∥平面求证平面⊥平面重庆如图，三棱锥中，⊥平面，分别为线段，上的点，且，证明⊥平面求二面角的余弦值组能力提高设，是空间不共面的四个点，且满足，则的形状是钝角三角形直角三角形锐角三角形无法确定温州质检如图所示，在矩形中，点，分别在线段，上，沿直线将翻折成，使平面⊥平面，则二面角的余弦值为已知正方体的棱长为，分别为的中点，则点到平面的距离为浙江名校联考如图，为圆的直径，点在圆上，∥，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直已知，求证平面⊥平面求直线与平面所成角的大小当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为学生用书答案精析第讲立体几何中的向量方法高考真题体验方法补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角由于，三棱柱为直三棱柱，且，可将三棱柱补成正方体建立如图所示空间直角坐标系设正方体棱长为，则可得方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解如图，取的中点，连接，由于綊綊，因此有綊，则与所成的角即为异面直线与所成的角设，则，因此证明设为的中点，由题意得⊥平面，所以⊥因为，所以⊥故⊥平面由，分别为，的中点，得∥且，从而∥且，所以为平行四边形故∥又因为⊥平面，所以⊥平面解以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示由题意知各点坐标如下，因此设平面的法向量为，平面的法向量为由，即可取由，即可取于是为其组解，所以可取设面的法向量，而该面上向量由此同理可得所以结合图形知二面角的余弦值为跟踪演练证明因为⊥平面，⊂平面，所以⊥又点为圆上点，且为直径，所以⊥又∩，所以⊥平面解由得⊥，⊥，⊥，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则故设平面的法向量为，由，得令，得所以是平面的个法向量又⊥平面，所以是平面的个法向量从而故二面角的余弦值为例证明取的中点，连接，分别是的中点，∥，又∥，∥四边形是平行四边形，∥⊄平面，⊂平面，∥平面解假设这样的点存在以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系则设，平面的法向量为，由⊥，⊥，得令，则，⊥平面，是平面的个法向量，则平面的个法向量为二面角的平面角的余弦值为，解得满足，在棱上存在点符合题意，此时跟踪演练解如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，因为所以异面直线与所成角的余弦值为假设在线段上存在点，使得⊥平面因为，可设，又，所以由⊥平面，得，即，，故，此时，经检验，当时，⊥平面故线段上存在点，使得⊥平面，此时高考押题精练证明连接，四边形是矩形，且为的中点，为的中点，又在中，为的中点，∥，⊂面，⊄面，∥平面解如图，取的中点，则⊥，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则，可得设平面的法向量为，则故即，令，则故是平面的个法向量⊥面，为平面的个法向量，由图可知所求二面角为锐角，二面角的余弦值为二轮专题强化练答案精析第讲立体几何中的向量方法由已知得四点共面所以在平面内，选可为下列个向量，其中个与重合，与垂直，这时，与的夹角为，这时，最后，故选分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，又⊥是平面的法向量，且⊄平面，∥平面设，则，选如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为，则，则为侧面的法向量，由解析以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，故，，，所以，解析如图为折叠后的图形，其中作⊥，⊥，则，两异面直线所成的角为，故由，得，解析设正方体的棱长为，中，故正确中，由于⊥，故正确中与两异面直线所成的角为，但与的夹角为，故不正确④中故④也不正确证明以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则分别是，的中点，，，∥，即∥，又⊂平面，⊄平面，∥平面由可知第讲立体几何中的向量方法课标全国Ⅱ直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为浙江如图，在三棱柱中在底面的射影为的中点，是的中点证明⊥平面求二面角的平面角的余弦值以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上热点利用向量证明平行与垂直设直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则有线面平行∥⇔⊥⇔⇔线面垂直⊥⇔∥⇔⇔面面平行∥⇔∥⇔⇔面面垂直⊥⇔⊥⇔⇔例如图，在直三棱柱中，面和面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点运用向量方法证明∥平面平面⊥平面思维升华用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的条直线和平面内的条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线∥，只需证明向量∈即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外跟踪演练如图所示，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形且，分别为的中点求证∥平面⊥平面热点二利用空间向量求空间角设直线，的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，以下相同线线夹角设，的夹角为，则线面夹角设直线与平面的夹角为，则，面面夹角设平面的夹角为，则，例安徽如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，为的中点，过的平面交于证明∥求二面角的余弦值思维升华运用空间向量坐标运算求空间角的般步骤建立恰当的空间直角坐标系求出相关点的坐标写出向量坐标④结合公式进行论证计算转化为几何结论求空间角注意两条异面直线所成的角不定是直线的方向向量的夹角，即两平面的法向量的夹角不定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化跟踪演练如图，已知的直径，点为上异于，的点，⊥平面，且，点为线段的中点求证⊥平面若，求二面角的余弦值热点三利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题的基本特征是要判断在些确定条件下的数学对象数值图形函数等是否存在或结论是否成立解决这类问题的基本策略