TOP33【金识源】高中数学2.3垂直的判定与性质素材新人教A版必修2.doc文档免费在线阅读

，则直线与平面互相垂直，记作平面的垂线，直线的垂面，它们的唯公共点叫做垂足线线垂直线面垂直判定定理条直线与个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直符号语言表示为若⊥，⊥，∩，，，则⊥面面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直记作判定定理个平面过另个平面的垂线，则这两个平面垂直线面垂直面面垂直线面垂直性质定理垂直于同个平面的两条直线平平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面例三棱锥中，，平面，垂足为是为直径的圆的圆周上点，是圆的直径，⊥又⊥平面，平面，⊥，从而⊥平面平面，平面⊥平面，，在中，，，即到平面的距离为例如图，已知平行六面体的底面是菱形且成和的角，已知，求到平面的距离解作于，于，则由，得，且就是到平面的距离，设，连结则，，又平面，平面，得为底面的垂心例已知，斜边平面，分别与平面与平面所成的角的正弦值为例三棱锥中，平面，垂足为，求证为底面的垂心证明连接，平面解取的中点，连接交平面于，连由已知正方体，易知平面，所以为所求在中，，，所以直线，，，又，即，，平面例已知棱长为的正方体中，是的中点，求直线与平面所成的角的正弦值，求证平面证明取的中点，连结，分别为，的中点，，又，，在中，直于交线的直线与另个平面垂直用符号语言表示为若，，，，则面面垂直线面垂直例四面体中，分别为，的中点，且，作判定定理个平面过另个平面的垂线，则这两个平面垂直线面垂直面面垂直线面垂直性质定理垂直于同个平面的两条直线平行线面垂直线线平行面面垂直性质定理两个平面垂直，则个平面内垂的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直符号语言表示为若⊥，⊥，∩，，，则⊥面面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直记的定义如果直线与平面内的任意条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作平面的垂线，直线的垂面，它们的唯公共点叫做垂足线线垂直线面垂直判定定理条直线与个平面内面来计算已知它的体积公式是上底面中截面下底面，试判断估与的大小关系，并加以证明注与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面垂直的判定与性质线面垂直长宽分别为，与且两底面间的距离为求侧面与底面所成二面角的正切值证明∥面在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式估中截平面求二面角的大小例如图，在多面体中，上下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于，两点，上下底面矩形的，那么吗请你叙述判断理由例如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点求证求证平，那么吗请你叙述判断理由例如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点求证求证平面求二面角的大小例如图，在多面体中，上下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于，两点，上下底面矩形的长宽分别为，与且两底面间的距离为求侧面与底面所成二面角的正切值证明∥面在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式估中截面来计算已知它的体积公式是上底面中截面下底面，试判断估与的大小关系，并加以证明注与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面垂直的判定与性质线面垂直的定义如果直线与平面内的任意条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作平面的垂线，直线的垂面，它们的唯公共点叫做垂足线线垂直线面垂直判定定理条直线与个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直符号语言表示为若⊥，⊥，∩，，，则⊥面面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直记作判定定理个平面过另个平面的垂线，则这两个平面垂直线面垂直面面垂直线面垂直性质定理垂直于同个平面的两条直线平行线面垂直线线平行面面垂直性质定理两个平面垂直，则个平面内垂直于交线的直线与另个平面垂直用符号语言表示为若，，，，则面面垂直线面垂直例四面体中，分别为，的中点，且，，求证平面证明取的中点，连结，分别为，的中点，，又，，在中，，，，又，即，，平面例已知棱长为的正方体中，是的中点，求直线与平面所成的角的正弦值解取的中点，连接交平面于，连由已知正方体，易知平面，所以为所求在中，，，所以直线与平面所成的角的正弦值为例三棱锥中，平面，垂足为，求证为底面的垂心证明连接，平面又平面，平面，得为底面的垂心例已知，斜边平面，分别与平面成和的角，已知，求到平面的距离解作于，于，则由，得，且就是到平面的距离，设，连结则，，，，在中，，，即到平面的距离为例如图，已知平行六面体的底面是菱形且是为直径的圆的圆周上点，是圆的直径，⊥又⊥平面，平面，⊥，从而⊥平面平面，平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面例三棱锥中，，平面，垂足为，求证为底面的外心证明连接，平面，在中，，，边公共，所以，为底面的外心例三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角相等，平面，垂足为，求证为底面的内心证作于，于，于，连接平面，，又，平面平面平面得，为三个侧面与底面所成的二面角的平面角即得，边公共，，得，又为底面的内心例在斜三棱柱中，底面是等腰三角形侧面⊥底面若是的中点，求证⊥过侧面的对角线的平面交侧棱于，若，求证截面⊥侧面如果截面⊥平面，那么吗请你叙述判断理由解证明，是的中点，⊥底面⊥平面，⊥侧面，⊥证明延长与交于，连结，。

，。

⊥底面⊥侧面，⊥侧面截面⊥侧面，截面⊥侧面过作⊥于，截面⊥侧面，⊥侧面，又⊥侧面，∥，共面∥侧面，∥⊥，∥是的中点，是的中点，年北京卷如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点求证求证平面求二面角的大小解⊥平面，是在平面上的射影又⊥，平面，⊥连接，与相交于，连接是平行四边形，是的中点又是的中点，∥又平面，平面，∥平面探究创新年北京理如图，在多面体中，上下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于，两点，上下底面矩形的长宽分别为，与且两底面间的距离为求侧面与底面所成二面角的正切值证明∥面在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式估中截面来计算已知它的体积公式是上底面中截面下底面，试判断估与的大小关系，并加以证明注与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面解过作底面的垂直平面，交底面于，过作⊥，垂足为平面∥平面⊥，⊥为所求二面角的平面角过作⊥，垂足为由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形为等腰梯形，又，，证明，是矩形的组对边，有∥，又是面与面的交线，∥面是面与面的交线，∥是平面内的条直线，在平面外，∥面Ⅲ估证明估估垂直的判定与性质线面垂直的定义如果直线与平面内的任意条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作平面的垂线，直线的垂面，它们的唯公共点叫做垂足线线垂直线面垂直判定定理条直线与个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直符号语言表示为若⊥，⊥，∩，，，则⊥面面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直记作判定定理个平面过另个平面的垂线，则这两个平面垂直线面垂直面面垂直线面垂直性质定理垂直于同个平面的两条直线平行线面垂直线线平行面面垂直性质定理两个平面垂直，则个平面内垂直于交线的直线与另个平面垂直用符号语言表示为若，，，，则面面垂直线面垂直例四面体中，分别为，的中点，且，，求证平面例已知棱长为的正方体中，是的中点，求直线与平面所成的角的正弦值例三棱锥中，平面，垂足为，求证为底面的垂心例已知，斜边平面，分别与平面成和的角，已知，求到平面的距离例如图，已知平行六面体的底面是菱形且，证明⊥当的值为多少时，可使⊥面例已知正方形的边长为，分别取边的中点，连结，以为折痕，折叠使点重合于点求证⊥求证平面⊥平面例如图，在空间四边形中，分别是的中点，求证平面平面例如图，在正方体中，是的中点，求证平面平面例正三棱柱中分别是侧棱上的点，且，过作截面，求截面与底面所成的角截面将三棱柱分成两部分的体积之比例如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，分别是的中点求证⊥求证∥平面当平面与平面成多大角时，直线⊥平面例把直角三角板的直角边放置于桌面，另条直角边与桌面所在的平面垂直，是内条直线，若斜边与垂直，则是否与垂直例如图，是圆的直径，是圆周上点，⊥平面求证平面⊥平面若也是圆周上点，且与分居直径的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面例三棱锥中，，平面，垂足为，求证为底面的外心例三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角相等，平面，垂足为，求证为底面的内心例在斜三棱柱中，底面是等腰三角形侧面⊥底面若是的中点，求证⊥过侧面的对角线的平