即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，般应从边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就角是顶角还是底角进行讨论注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然面积法用面积法证题是常用的技巧方法之，使用这种方法时般是利用个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论在涉及折叠的相关问题中，若原图形中含有直角或折叠后产生直角，常常把所求的量与已知条件利用折叠的性质，借助等量代换转化到个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解小结论等腰三角形常用辅助线底边上的高线或底边上的中线或顶角平分线等边三角形面积边长的直角三角形三边的比为短直角边∶长直角边∶斜边∶∶盘锦如图，中点在上，，交于点，，交于点，则四边形的周长是丹东如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为解题的关键在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断对应训练抚顺模拟在中，离为桂林下列各组线段能构成直角三角形的组是点评在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的半理解题意，将实际问题转化为数学问题是，是等边三角形直角三角形勾股定理例本溪模拟如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开若测得的长为，则，两点间的距≌是等边三角形，，，，，上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，求证证明作交于，如图所示则，在和中，，沈阳模拟如图，将等边绕顶点顺时针方向旋转，使边与重合得，的中点的对应点为，则的度数是大连模拟如图，点在等边三角形的边，是等腰，同理，点评此题主要考查等边三角形的判定及性质的理解及运用对应训练沈阳如图，中⊥于点，⊥于点，，与交于点，连接求证若，求的长解⊥，点为的中点，，⊥，是等腰直角三角形，点为的中点，垂直平分，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接求证若，求线段之间的数量关系解，点为的中点，⊥，则点到的最小距离和最大距离分别是锦州如图，在中，点在上，且线与直线都与的距离为，当与重合时，为到的最小距离当与重合时，为到的最大距离，根据题意得到与都为等边三角形，个三角形所在的平面内有点，若点到的距离是，点到的距离是，则点到的最小距离和最大距离分别是，解析根据题意画出相应的图形，直线与直线都与的距离为，直如图，已知是等边三角形点在上，点在上，沿折叠后点恰好落在上的点，且⊥则的长是沈阳已知等边三角形的高为，在这上点，且⊥于点，已知，则的周长为辽阳如图，中，是中线，是角平分线，⊥于，则的长为盘锦辽阳如图，在中，⊥于，点为的中点，则线段的长等于鞍山如图，是的边的中点，平分，点是点在上，则的长为解析，，在中，点在上，则的长为解析，，在中辽阳如图，在中，⊥于，点为的中点，则线段的长等于鞍山如图，是的边的中点，平分，点是上点，且⊥于点，已知，则的周长为辽阳如图，中，是中线，是角平分线，⊥于，则的长为盘锦如图，已知是等边三角形点在上，点在上，沿折叠后点恰好落在上的点，且⊥则的长是沈阳已知等边三角形的高为，在这个三角形所在的平面内有点，若点到的距离是，点到的距离是，则点到的最小距离和最大距离分别是，解析根据题意画出相应的图形，直线与直线都与的距离为，直线与直线都与的距离为，当与重合时，为到的最小距离当与重合时，为到的最大距离，根据题意得到与都为等边三角形，则点到的最小距离和最大距离分别是锦州如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接求证若，求线段之间的数量关系解，点为的中点，⊥，点为的中点，，⊥，是等腰直角三角形，点为的中点，垂直平分沈阳如图，中⊥于点，⊥于点，，与交于点，连接求证若，求的长解⊥，，是等腰，同理，点评此题主要考查等边三角形的判定及性质的理解及运用对应训练沈阳模拟如图，将等边绕顶点顺时针方向旋转，使边与重合得，的中点的对应点为，则的度数是大连模拟如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，求证证明作交于，如图所示则，在和中，，≌是等边三角形，，，，，，是等边三角形直角三角形勾股定理例本溪模拟如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开若测得的长为，则，两点间的距离为桂林下列各组线段能构成直角三角形的组是点评在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的半理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断对应训练抚顺模拟在中，边上的高为，则的面积为苏州如图，四边形为矩形，过点作对角线的垂线，交的延长线于点，取的中点，连接，设则的值为或从不同的视角来证明几何命题试题营口问题探究如图，锐角中分别以，为边向外作等腰和等腰，使，连接试猜想与的大小关系，并说明理由深入探究如图，四边形中，，求的长审题视角首先根据等式的性质证明，则根据即可证明≌，根据全等三角形的性质即可证明在的外部，以为直角顶点作等腰直角，使连接，证明≌，证明，然后在直角三角形中利用勾股定理即可求解规范答题解理由，，即，在和中，，≌如图，在的外部，以为直角顶点作等腰直角，使连接，，即，在和中，，≌，，又，第讲特殊三角形第五章图形的性质等腰边三角形直角三角形的性质及判定性质判定等腰三角形两腰相等，两底角相等顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合是轴对称图形，有条对称轴有两条边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形等边三角形三边相等各角相等，且都等于是轴对称图形，有三条对称轴三条边相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形有个角等于的是等边三角形直角三角形两锐角之和等于斜边上的中线等于斜边的角所对的直角边等于斜边的半若有条直角边等于斜边的半，那么这条直角边所对的锐角等于两直角边的平方和等于斜边的平方有个角为的三角形是直角三角形边上的中线等于这条边的半的三角形是直角三角形如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形等腰三角形半计算有关线段长问题，如果所求线段是在直角三角形中，般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，般应从边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就角是顶角还是底角进行讨论注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然面积法用面积法证题是常用的技巧方法之，使用这种方法时般是利用个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论在涉及折叠的相关问题中，若原图形中含有直角或折叠后产生直角，常常把所求的量与已知条件利用折叠的性质，借助等量代换转化到个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解小结论等腰三角形常用辅助线底边上的高线或底边上的中线或顶角平分线等边三角形面积边长的直角三角形三边的比为短直角边∶长直角边∶斜边∶∶盘锦如图，中点在上，，交于点，，交于点，则四边形的周长是丹东如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为大连如图，在中，点在上，则的长为解析，，在中辽阳如图，在中，⊥于，点为的中点，则线段的长等于鞍山如图，是的边的中点，平分，点是上点，且⊥于点，已知，则的周长为辽阳如图，中，是中线，是角平分线，⊥于，则的长为盘锦如图，已知是等边三角形点在上，点在上，沿折叠后点恰好落在上的点，且⊥则的长是沈阳已知等边三角形的高为，在这个三角形所在的平面内有点，若点到的距离是，点到的距离是，则点到的最小距离和最大距离分别是，解析根据题意画出相应的图形，直线与直线都与的距离为，直线辽阳如图，在中，⊥于，点为的中点，则线段的长等于鞍山如图，是的边的中点，平分，点是如图，已知是等边三角形点在上，点在上，沿折叠后点恰好落在上的点，且⊥则的长是沈阳已知等边三角形的高为，在这线与直线都与的距离为，当与重合时，为到的最小距离当与重合时，为到的最大距离，根据题意得到与都为等边三角形点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接求证若，求线段之间的数量关系解，点为的中点，⊥沈阳如图，中⊥于点，⊥于点，，与交于点，连接求证若，求的长解⊥，沈阳模拟如图，将等边绕顶点顺时针方向旋转，使边与重合得，的中点的对应点为，则的度数是大连模拟如图，点在等边三角形的边≌是等边三角形，，，，，离为桂林下列各组线段能构成直角三角形的组是点评在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的半理解题意，将实际问题转化为数学问题是即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，般应从边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就角是顶角还是底角进行讨论注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然面积法用面积法证题是常用的技巧方法之，使用这种方法时般是利用个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论在涉及折叠的相关问题中，若原图形中含有直角或折叠后产生直角，常常把所求的量与已知条件利用折叠的性质，借助等量代换转化到个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解小结论等腰三角形常用辅助线底边上的高线或底边上的中线或顶角平分线等边三角形面积边长的直角三角形三边的比为短直角边∶长直角边∶斜边∶∶盘锦如图，中点在上，，交于点，，交于点，则四边形的周长是丹东如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为