对的弦推论在同圆或等圆中，如果两个中有组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等轴对称过圆心的任意条直线中心对称圆心平分弦平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的两条弧相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距圆周角定理及推论圆周角定理条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧半圆或直径所对的圆周角是的圆周角所对的弦是点和圆的位置关系设为点到圆心的距离，为圆的半径点在圆上⇔点在圆内⇔点在圆外⇔半相等直角直径过三点的圆经过不在同直线上的三点，有且只有个圆经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心是三边的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形锐角三则的度数是或点评当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的半，通过相等的弧把角联系起来对应训练抚顺模，而，，，，圆周角定理及其推论例酒泉为的内接三角形，若，的度数求证解，，，，证明，点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补或对应训练台州如图，四边形内接于，点在对角线上，若，求点评在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯性，这种题题多解，必须分类讨论本题中，弦所对的圆周角不是唯的，圆周角的顶，圆心角弧弦之间的关系例锦州模拟直径为的中，弦，则弦所对的圆周角是连接，则，为等边三角形，，，又，作⊥于点，解析由题意，当点在直线左侧时，如图，连接，则，，，当点在直线右侧时，如图或盘锦已知是直径，半径⊥，点在上，且点与点在直径的两侧，连接若，则的度数是或的圆心，若，则的度数是盘锦如图，内接于，是的直径，点在上，，连接，若，则的度数是周角，则这个人工湖的直径为沈阳如图，点，都在上，，则的直径的长是辽阳已知点是外接圆，则辽阳如图，点是上的点则朝阳如图，是个圆形人工湖的平面图，弦是湖上的座桥，已知桥长，测得圆接和相交于点则下列结论，⊥四边形是菱形正确的个数是辽阳如图，点是上的点，圆心角所对的弦的圆心角所对的弦阜新如图，点是上的三点，已知，那么的度数是阜新如图，已知点，是半圆上的三等分点，连知识求解有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等同弧所对的圆周心角小结论的圆心角所对的弦的三角形的外心在三角形的外部圆的内接四边形圆内接四边形的对角垂直平分线互补常见的辅助线有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径弦的半弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理的外接圆外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心是三边的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形锐角三角形的外心在三角形内部直角三角形的外心在斜边中点处钝角三的外接圆外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心是三边的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形锐角三角形的外心在三角形内部直角三角形的外心在斜边中点处钝角三角形的外心在三角形的外部圆的内接四边形圆内接四边形的对角垂直平分线互补常见的辅助线有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径弦的半弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等同弧所对的圆周心角小结论的圆心角所对的弦的圆心角所对的弦的圆心角所对的弦阜新如图，点是上的三点，已知，那么的度数是阜新如图，已知点，是半圆上的三等分点，连接和相交于点则下列结论，⊥四边形是菱形正确的个数是辽阳如图，点是上的点，，则辽阳如图，点是上的点则朝阳如图，是个圆形人工湖的平面图，弦是湖上的座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径为沈阳如图，点，都在上，，则的直径的长是辽阳已知点是外接圆的圆心，若，则的度数是盘锦如图，内接于，是的直径，点在上，，连接，若，则的度数是或盘锦已知是直径，半径⊥，点在上，且点与点在直径的两侧，连接若，则的度数是或解析由题意，当点在直线左侧时，如图，连接，则，，，当点在直线右侧时，如图，连接，则，为等边三角形，，，又，作⊥于点，，圆心角弧弦之间的关系例锦州模拟直径为的中，弦，则弦所对的圆周角是点评在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯性，这种题题多解，必须分类讨论本题中，弦所对的圆周角不是唯的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补或对应训练台州如图，四边形内接于，点在对角线上，若，求的度数求证解，，，，证明，，而，，，，圆周角定理及其推论例酒泉为的内接三角形，若，则的度数是或点评当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的半，通过相等的弧把角联系起来对应训练抚顺模拟如图，的半径为是上的四个点，判断的形状试探究线段之间的数量关系，并证明你的结论当点位于︵的什么位置时，四边形的面积最大求出最大面积是等边三角形解是等边三角形证明在中，与是︵所对的圆周角，与是︵所对的圆周角，，，又，，为等边三角形在上截取，如图，又，是等边三角形，即又，，在和中，，≌又，当点为︵的中点时，四边形的面积最大理由如下，如图，过点作⊥，垂足为过点作⊥，垂足为，四边形，当点为︵的中点时为的直径，此时四边形的面积最大又的半径为，其内接等边三角形的边长，四边形点与圆的位置关系例大连模拟矩形中，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是点，均在圆外点在圆外，点在圆内点在圆内，点在圆外点，均在圆内点评本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断第讲圆的基本性质第六章图形的性质二主要概念圆平面上到的距离等于的所有点组成的图形叫做圆叫圆心，叫半径，以为圆心的圆记作弧和弦圆上任意两点间的部分叫，连接圆上任意两点的线段叫，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的圆心角顶点在，角的两边与圆相交的角叫圆心角圆周角顶点在，角的两边与圆相交的角叫圆周角等弧在中，能够完全的弧定点定长定点定长弧弦弦圆心圆上同圆或等圆重合圆的有关性质圆的对称性圆是图形，其对称轴是圆是图形，对称中心是旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意个角度，都能与原来的图形重合垂径定理及推论垂径定理垂直于弦的直径，并且垂径定理的推论平分弦不是直径的直径，并且弦弧圆心角的关系定理及推论弦弧圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦推论在同圆或等圆中，如果两个中有组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等轴对称过圆心的任意条直线中心对称圆心平分弦平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的两条弧相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距圆周角定理及推论圆周角定理条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧半圆或直径所对的圆周角是的圆周角所对的弦是点和圆的位置关系设为点到圆心的距离，为圆的半径点在圆上⇔点在圆内⇔点在圆外⇔半相等直角直径过三点的圆经过不在同直线上的三点，有且只有个圆经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心是三边的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形锐角三角形的外心在三角形内部直角三角形的外心在斜边中点处钝角三角形的外心在三角形的外部圆的内接四边形圆内接四边形的对角垂直平分线互补常见的辅助线有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径弦的半弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等同弧所对的圆周心角小结论的圆心角所对的弦的圆心角所对的弦的圆心角所对的弦阜新如图，点是上的三点，已知，那么的度数是阜新如图，已知点，是半圆上的三等分点，连接和相交于点则下列结论，⊥四边形是菱形正确的个数是辽阳如图，点是上的点，三角形的外心在三角形的外部圆的内接四边形圆内接四边形的对角垂直平分线互补常见的辅助线有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径弦的半弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理圆心角所对的弦的圆心角所对的弦阜新如图，点是上的三点，已知，那么的度数是阜新如图，已知点，是半圆上的三等分点，连，则辽阳如图，点是上的点则朝阳如图，是个圆形人工湖的平面图，弦是湖上的座桥，已知桥长，测得圆的圆心，若，则的度数是盘锦如图，内接于，是的直径，点在上，，连接，若，则的度数是解析由题意，当点在直线左侧时，如图，连接，则，，，当点在直线右侧时，如图，圆心角弧弦之间的关系例锦州模拟直径为的中，弦，则弦所对的圆周角是点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补或对应训练台州如图，四边形内接于，点在对角线上，若，求，而，，，，圆周角定理及其推论例酒泉为的内接三角形，若，对的弦推论在同圆或等圆中，如果两个中有组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等轴对称过圆心的任意条直线中心对称圆心平分弦平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的两条弧相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距圆周角定理及推论圆周角定理条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧半圆或直径所对的圆周角是的圆周角所对的弦是点和圆的位置关系设为点到圆心的距离，为圆的半径点在圆上⇔点在圆内⇔点在圆外⇔半相等直角直径过三点的圆经过不在同直线上的三点，有且只有个圆经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心是三边的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形锐角三