25第十二章 数理逻辑的公理化理论-精品课件（PPT）文档

如果将任个非定理的公式作为公理加入系统后，所得到的系统均为矛盾的系统个系统最好是完备的或相对完备的，但允许不完备•系统的性系统中的每条公理均不能由其他公理推出个系统可以是不的命题理化理论的基本思想•系统的不矛盾性系统的不矛盾性是对公理系统的最基本要求•系统的完备性相对完备性个为学科建立的公理系统，该学科中的所有定理和规则均能由系统推出绝对完备性个公理系统中要求给出推理中最基本的事实•基本规则种动态推理公式，分原始规则与导出规则•证明是种由公理及推理规则按定语法规则所进行的动态过程，并产生个公式串•定理由公理及推理规则按证明过程所得的结果公由两部分内容组成组成部分•基本符号按学科要求建立•公式由基本符号按定语法规则组成第十二章数理逻辑的公理化理论推理部分系统中的公理，基本规则以及给出的系统中证明与定理的概念•公理按学科分∀第十二章数理逻辑的公理化理论•公理化理论的基本思想•公理学科领域中最基本的原理与规则•公理系统以公理为基础所建立的基于定语法规范的形式系统•公理系统般∀•证明只要证明∀，∀├∀∀假设前提∀假设前提则公式中含有额外变元则对此公式中的自由变元亦不能使用此规则•使用需遵守不同额外变元需用不同符号表示，而且不能互相代入谓词逻辑的公理化理论•例试证∀∀从而得到个命题逻辑公式，然后用命题逻辑方法推理，在最后得到结论前利用，重新加入量词，恢复成谓词逻辑公式•使用时需遵守对假设前提中所出现的自由变元不能使用此规则对额外变元不能使用此规•此规则中叫额外变元，它是种额外假设的自由变元，它的变化范围是使对∃成立的谓词逻辑的公理化理论•可充分应用，四条规则，通过，将公式中的量词全部除去，过程中对，不作代入，各至少被使用次且在施行全称规则存在规则时绝不对各中的自由变元进行，则必有├•规则∃├存在指定规则，不作代入，各至少被使用次且在施行全称规则存在规则时绝不对各中的自由变元进行，则必有，├谓词逻辑的公理化理论•推论设有，├，且在推理├∀全称推广规则规则∀├全称指定规则规则├∃存在推广规则•定理谓词逻辑推理定理设有，├，且在推理过程中对施行分离规则而得是由施行全称规则而得是由施行全称规则而得最后即为定理谓词逻辑的公理化理论•全称规则另外的形式↔↔↔命题逻辑的公理化理论∧∧∧∨∨得命题逻辑的公理化理论系统的推理部分公理如为公式，则有下述的公理基本符号命题联结词，∧，∨↔括号，公式命题是公式如，是公式，则∧，∨↔是公式公式由且仅由有限次使用而矛盾的系统个系统最好是完备的或相对完备的，但允许不完备•系统的性系统中的每条公理均不能由其他公理推出个系统可以是不的命题逻辑的公理化理论•命题逻辑永真公式的公理系统系统的组成部分矛盾的系统个系统最好是完备的或相对完备的，但允许不完备•系统的性系统中的每条公理均不能由其他公理推出个系统可以是不的命题逻辑的公理化理论•命题逻辑永真公式的公理系统系统的组成部分基本符号命题联结词，∧，∨↔括号，公式命题是公式如，是公式，则∧，∨↔是公式公式由且仅由有限次使用而得命题逻辑的公理化理论系统的推理部分公理如为公式，则有下述的公理↔↔↔命题逻辑的公理化理论∧∧∧∨∨施行分离规则而得是由施行全称规则而得是由施行全称规则而得最后即为定理谓词逻辑的公理化理论•全称规则另外的形式├∀全称推广规则规则∀├全称指定规则规则├∃存在推广规则•定理谓词逻辑推理定理设有，├，且在推理过程中对，不作代入，各至少被使用次且在施行全称规则存在规则时绝不对各中的自由变元进行，则必有，├谓词逻辑的公理化理论•推论设有，├，且在推理过程中对，不作代入，各至少被使用次且在施行全称规则存在规则时绝不对各中的自由变元进行，则必有├•规则∃├存在指定规则•此规则中叫额外变元，它是种额外假设的自由变元，它的变化范围是使对∃成立的谓词逻辑的公理化理论•可充分应用，四条规则，通过，将公式中的量词全部除去，从而得到个命题逻辑公式，然后用命题逻辑方法推理，在最后得到结论前利用，重新加入量词，恢复成谓词逻辑公式•使用时需遵守对假设前提中所出现的自由变元不能使用此规则对额外变元不能使用此规则公式中含有额外变元则对此公式中的自由变元亦不能使用此规则•使用需遵守不同额外变元需用不同符号表示，而且不能互相代入谓词逻辑的公理化理论•例试证∀∀∀•证明只要证明∀，∀├∀∀假设前提∀假设前提分∀第十二章数理逻辑的公理化理论•公理化理论的基本思想•公理学科领域中最基本的原理与规则•公理系统以公理为基础所建立的基于定语法规范的形式系统•公理系统般由两部分内容组成组成部分•基本符号按学科要求建立•公式由基本符号按定语法规则组成第十二章数理逻辑的公理化理论推理部分系统中的公理，基本规则以及给出的系统中证明与定理的概念•公理按学科要求给出推理中最基本的事实•基本规则种动态推理公式，分原始规则与导出规则•证明是种由公理及推理规则按定语法规则所进行的动态过程，并产生个公式串•定理由公理及推理规则按证明过程所得的结果公理化理论的基本思想•系统的不矛盾性系统的不矛盾性是对公理系统的最基本要求•系统的完备性相对完备性个为学科建立的公理系统，该学科中的所有定理和规则均能由系统推出绝对完备性个公理系统中如果将任个非定理的公式作为公理加入系统后，所得到的系统均为矛盾的系统个系统最好是完备的或相对完备的，但允许不完备•系统的性系统中的每条公理均不能由其他公理推出个系统可以是不的命题逻辑的公理化理论•命题逻辑永真公式的公理系统系统的组成部分基本符号命题联结词，∧，∨↔括号，公式命题是公式如，是公式，则∧，∨↔是公式公式由且仅由有限次使用而得命题逻辑的公理化理论系统的推理部分公理如为公式，则有下述的公理↔↔↔命题逻辑的公理化理论∧∧∧∨∨基本符号命题联结词，∧，∨↔括号，公式命题是公式如，是公式，则∧，∨↔是公式公式由且仅由有限次使用而↔↔↔命题逻辑的公理化理论∧∧∧∨∨├∀全称推广规则规则∀├全称指定规则规则├∃存在推广规则•定理谓词逻辑推理定理设有，├，且在推理过程中对过程中对，不作代入，各至少被使用次且在施行全称规则存在规则时绝不对各中的自由变元进行，则必有├•规则∃├存在指定规则从而得到个命题逻辑公式，然后用命题逻辑方法推理，在最后得到结论前利用，重新加入量词，恢复成谓词逻辑公式•使用时需遵守对假设前提中所出现的自由变元不能使用此规则对额外变元不能使用此规∀•证明只要证明∀，∀├∀∀假设前提∀假设前提由两部分内容组成组成部分•基本符号按学科要求建立•公式由基本符号按定语法规则组成第十二章数理逻辑的公理化理论推理部分系统中的公理，基本规则以及给出的系统中证明与定理的概念•公理按学科理化理论的基本思想•系统的不矛盾性系统的不矛盾性是对公理系统的最基本要求•系统的完备性相对完备性个为学科建立的公理系统，该学科中的所有定理和规则均能由系统推出绝对完备性个公理系统中