TOP48【导与练】（新课标）2016高考数学二轮复习专题6解析几何第4讲圆锥曲线中的综合问题文.doc文档免费在线阅读

线，切线斜率分别为和，切点分别为，求证为定值，并且直线过定点记，四边形当且仅当，即时等号成立，此时四边形面积的最大值为，经检验可，整理可得，曲线的方程是有最大值，设由已知可得当时，不合题意当≠时，由直线与圆相切，可得，即联立消去得与，不重合求曲线的方程当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，求出其最大值及对应的直线的方程若没有，请说明理由解设点由题意可得因为，到定点，和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于，两点，直线与曲线交于，两点，与线段相交于点直线方程为，代入椭圆方程，有，解得于是，解得又，从而，所以椭圆的方程为假设存在直线交椭圆于，两点，且为的垂心设求椭圆的方程设椭圆的上顶点为，是否存在直线交椭圆于，两点，使点为的垂心若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由解设则，知过点且与轴垂直的存在性问题，先假设存在，进行系列推理，若推理正确则存在，若得出矛盾则不存在已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，为坐标原点，整理得，设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为则因为点在圆上，所以，所以所以两条切线斜率之积为常数圆锥曲线中的存在性问题训练提示，联立直线与椭圆的方程得消去得，整理得，因为与椭圆相切，所以到的距离，则被圆截得的弦长为，所以由题意得又，所以，所以椭圆的方程为证明设点过点的椭圆的切线的方程为，整理得的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心，即由于式对满足≠的恒成立，所以解得故以为直径的圆恒过轴上的定点，已知直线，圆，椭圆设则≠，且的方程为，即由得所以，设令对满足≠的，恒成立由于由，得意设则因为点，在上，所以，解得故抛物线的方程为证明由知，意设则因为点，在上，所以，解得故抛物线的方程为证明由知，设则≠，且的方程为，即由得所以，设令对满足≠的，恒成立由于由，得，即由于式对满足≠的恒成立，所以解得故以为直径的圆恒过轴上的定点，已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心到的距离，则被圆截得的弦长为，所以由题意得又，所以，所以椭圆的方程为证明设点过点的椭圆的切线的方程为，整理得，联立直线与椭圆的方程得消去得，整理得，因为与椭圆相切，所以，整理得，设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为则因为点在圆上，所以，所以所以两条切线斜率之积为常数圆锥曲线中的存在性问题训练提示存在性问题，先假设存在，进行系列推理，若推理正确则存在，若得出矛盾则不存在已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，为坐标原点求椭圆的方程设椭圆的上顶点为，是否存在直线交椭圆于，两点，使点为的垂心若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由解设则，知过点且与轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程，有，解得于是，解得又，从而，所以椭圆的方程为假设存在直线交椭圆于，两点，且为的垂心设因为，到定点，和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于，两点，直线与曲线交于，两点，与线段相交于点与，不重合求曲线的方程当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，求出其最大值及对应的直线的方程若没有，请说明理由解设点由题意可得，整理可得，曲线的方程是有最大值，设由已知可得当时，不合题意当≠时，由直线与圆相切，可得，即联立消去得，四边形当且仅当，即时等号成立，此时四边形面积的最大值为，经检验可知，直线和直线符合题意如图，过轴上动点，引抛物线的两条切线，切线斜率分别为和，切点分别为，求证为定值，并且直线过定点记的面积为，当最小时，求的值证明设过点的直线为，与抛物线联立得整理得所以为定值抛物线方程，求导得，设切点，的坐标分别为则所以直线的方程，由得到，整理可得，所以直线过定点，解设到的距离为，所以，设，所以，当且仅当时取等号，此时因为，所以类型二证明问题如图，已知点，是离心率为的椭圆上的点，斜率为的直线交椭圆于，两点，且三点互不重合求椭圆的方程求证直线，的斜率之和为定值解由题意，可得，将，代入椭圆方程，得，又，解得所以椭圆的方程为证明设直线的方程为，又三点不重合，所以≠，设由得所以⇒设直线，的斜率分别为则将式代入，整理得，所以，即直线，的斜率之和为定值已知曲线∈若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围设，曲线与轴的交点为，点位于的上方，直线与曲线交于不同的两点直线与直线交于点，求证三点共线解曲线是焦点在轴上的椭圆，当且仅当解得，即设点，的坐标分别为则，直线的方程为，点的坐标为，因为直线和直线的斜率分别为所以即故三点共线第讲圆锥曲线中的综合问题圆与圆锥曲线的综合问题训练提示充分挖掘题目条件，寻找圆心与圆锥曲线焦点的位置关系，圆的半径与给定线段长度之间的关系，充分利用圆的直径所对圆周角为直角等性质解决问题已知圆心为的圆的方程为，是圆上的动点，的垂直平分线交于求动点的轨迹方程设过点，作直线，交的轨迹于不同于的，两点，直线，的斜率分别为证明为定值解由线段的垂直平分线的性质得又，所以，所以所以点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的椭圆由，得故动点的轨迹方程为证明当直线的斜率存在时，设其方程为，由得设则，从而当直线的斜率不存在时，得得综上，恒有设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若其中为坐标原点求椭圆的方程设是椭圆上的任意点，为圆的任意条直径，为直径的两个端点，求的最大值解由题设知，由得，解得所以椭圆的方程为设圆的圆心为，则从而求的最大值转化为求的最大值因为是椭圆上的任意点，设所以，即，因为点所以因为∈所以当时，取得最大值所以的最大值为圆锥曲线中的定点定值问题训练提示由直线方程确定定点，若得到直线方程的点斜式，则直线必过定点若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点，证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数些变量无关也可令系数等于零，得出定值如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点证明以为直径的圆恒过轴上定点解依题意设则因为点，在上，所以，解得故抛物线的方程为证明由知，设则≠，且的方程为，即由得所以，设令对满足≠的，恒成立由于由，得，即由于式对满足≠的恒成立，所以解得故以为直径的圆恒过轴上的定点，已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心到的距离，则被圆截得的弦长为，所以由题意得又，所以，所以椭圆的方程为证明设点过点的椭圆的切线的方程为，整理得设则≠，且的方程为，即由得所以，设令对满足≠的，恒成立由于由，得的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心，联立直线与椭圆的方程得消去得，整理得，因为与椭圆相切，所以存在性问题，先假设存在，进行系列推理，若推理正确则存在，若得出矛盾则不存在已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，为坐标原点直线方程为，代入椭圆方程，有，解得于是，解得又，从而，所以椭圆的方程为假设存在直线交椭圆于，两点，且为的垂心设与，不重合求曲线的方程当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，求出其最大值及对应的直线的方程若没有，请说明理由解设点由题意可得，四边形当且仅当，即时等号成立，此时四边形面积的最大值为，经检验可的面积为，当最小时，求的值证明设过点的直线为，与抛物线联立得整理得所以为定值抛物线方程，求导得