1、“.....因为时,有可能⊥在实数运算中,若,,则若,则但对于向量,却有若,则不定成立,原因是,当时,与不定相等向量数量积的运算不满足乘法结合律,即不定等于,这是由于表示个与共线的向量,而表示个与共线的向量,而与不定共线考点考点考点知识方法易错易混考点平面向量数量积的运算例云南统检测设向量如果向量与平行,那么与的数量积等于答案解析解析关闭由题意得,则,所以答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知正方形的边长为,点是边上的动点,则的值为的最大值为𝐷𝐸𝐷𝐶答案解析方法如图𝐶𝐵𝐷𝐴𝐴𝐸的夹角与平面向量的垂直答案解析解析关闭因为⊥,所以,即设与的夹角为,则有又,所以𝑒𝑒因为与,所成的角相等由知与的夹角为,所以与,所成的角均为,即,所以答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混考点平面向量答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知两个单位向量,的夹角为,若向量则答案解析解析关闭则考点知识方法易错易混已知则答案解析解析关闭答案解析解析关闭,由得......”。

2、“.....满足则求解,即若则利用数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可知识方法易错易混思考求向量数量积的运算有几种形式解题心得求两个向量的数量积有三种方法当易知向量的模和夹角时,利用定义求解,即当已知向量的坐标时,可利用坐标法𝐶𝐵方向上的投影都是,𝐷𝐸当运动到点时,𝐷𝐸在𝐷𝐶方向上的投影最大,即为,𝐷𝐸考点考点考点,因为𝐷𝐶所以𝐷𝐸𝐷𝐶故𝐷𝐸𝐷𝐶的最大值为考点考点考点知识方法易错易混方法三由图知,无论点在哪个位置,𝐷𝐸在二以射线,为轴轴的正方向建立平面直角坐标系,则设则𝐷𝐸𝐶𝐵所以𝐷𝐸𝐶𝐵�......”。

3、“.....则的值为的最大值为𝐷𝐸𝐷𝐶答案解析方法如图,𝐷𝐸𝐶𝐵𝐷𝐴𝐶𝐵𝐷�关闭由题意得,则,所以答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知正方形的边长为,点是不定共线考点考点考点知识方法易错易混考点平面向量数量积的运算例云南统检测设向量如果向量与平行,那么与的数量积等于答案解析解析时,与不定相等向量数量积的运算不满足乘法结合律,即不定等于,这是由于表示个与共线的向量,而表示个与共线的向量,而与,则若,则但对于向量,却有若,则不定成立,原因是,当,则若,则但对于向量,却有若,则不定成立,原因是,当时,与不定相等向量数量积的运算不满足乘法结合律,即不定等于,这是由于表示个与共线的向量,而表示个与共线的向量,而与不定共线考点考点考点知识方法易错易混考点平面向量数量积的运算例云南统检测设向量如果向量与平行,那么与的数量积等于答案解析解析关闭由题意得,则,所以答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知正方形的边长为,点是边上的动点......”。

4、“.....为轴轴的正方向建立平面直角坐标系,则设则𝐷𝐸𝐶𝐵所以𝐷𝐸𝐶𝐵,因为𝐷𝐶所以𝐷𝐸𝐷𝐶故𝐷𝐸𝐷𝐶的最大值为考点考点考点知识方法易错易混方法三由图知,无论点在哪个位置,𝐷𝐸在𝐶𝐵方向上的投影都是,𝐷𝐸当运动到点时,𝐷𝐸在𝐷𝐶方向上的投影最大,即为,𝐷𝐸考点考点考点知识方法易错易混思考求向量数量积的运算有几种形式解题心得求两个向量的数量积有三种方法当易知向量的模和夹角时,利用定义求解,即当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若则利用数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补考点考点考点知识方法易错易混对点训练设向量......”。

5、“.....由得,故选答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知则答案解析解析关闭答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知两个单位向量,的夹角为,若向量则答案解析解析关闭则𝑒𝑒因为与,所成的角相等由知与的夹角为,所以与,所成的角均为,即,所以答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混考点平面向量的夹角与平面向量的垂直答案解析解析关闭因为⊥,所以,即设与的夹角为,则有又,所以,则,从而答案解析关闭例重庆,文已知非零向量,满足,且⊥,则与的夹角为考点考点考点知识方法易错易混平面向量,且与的夹角等于与的夹角,则答案解析解析关闭,又与的夹角等于与的夹角𝑐𝑏𝑐𝑏,即𝑐𝑏𝑏𝑚𝑚答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混思考两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系两向量的垂直与其数量积有何关系解题心得若,为非零向量,夹角公式,⊥⇔数量积大于说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于说明不共线的两向量的夹角为直角......”。

6、“.....则与的夹角的余弦值等于答案解析解析关闭记向量与的夹角为,又,故𝑎𝑏𝑎𝑏,即向量与的夹角的余弦值是,故选答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知向量𝐴𝐵与𝐴𝐶的夹角为,且𝐴𝐵,𝐴𝐶若𝐴𝑃𝐴𝐵𝐴𝐶,且𝐴𝑃⊥𝐵𝐶,则实数的值为答案解析解析关闭由𝐴𝑃⊥𝐵𝐶,知𝐴𝑃𝐵𝐶,即𝐴𝑃𝐴𝐶−𝐴𝐵𝐴𝐵,解得答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混平面向量的坐标表示与向量表示的比较已知是向量与的夹角向量表示坐标表示向量的模𝑎𝑎𝑎𝑥𝑦与的数量积与共线的充要条件⇔⇔非零向量,垂直的充要条件⊥⇔⊥⇔向量与的夹角𝑎𝑏𝑎𝑏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦考点考点考点知识方法易错易混计算数量积的三种方法定义坐标运算数量积的几何意义,要灵活选用......”。

7、“.....不要遗漏共线的情况当且仅当时等号成立这是因为,而思想方法函数思想与数形结合思想在数量积中的应用典例设,为单位向量,非零向量若,的夹角为的最大值等于答案,则𝑥𝑏解析因为,所以,或当,时当时𝑥𝑏𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥,不妨设𝑦𝑥,则𝑥𝑏𝑡𝑡,当时,取得最小值,此时𝑥𝑏取得最大值,所以𝑥𝑏的最大值为综上,𝑥𝑏的最大值为典例若平面向量,满足且以向量,为邻边的平行四边形的面积为,则与的夹角的取值范围是答案,解析如图,向量与在单位圆内,因且以向量,为邻边的平行四边形的面积为,故以向量,为边的三角形的面积为,故的终点在如图的线段上𝛼𝐴𝐵,且圆心𝑂到线段𝐴𝐵的距离为,因此夹角的取值范围为......”。

8、“.....会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系两向量的夹角与垂直夹角已知两个非零向量和,如图,作,则叫作向量与的夹角范围向量与的夹角的范围是当时,与同向当时,与反向𝑂𝐴,𝑂𝐵垂直如果与的夹角是,则称与垂直,记作⊥规定零向量可与任向量垂直投影的概念叫作向量在方向上的投影向量的数量积定义已知两个向量和,它们的夹角为,则数量叫作与的数量积或内积,记作,即,由定义可知零向量与任向量的数量积为,即数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的射影的乘积,或的长度与在方向上的射影的乘积平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量为向量,的夹角数量积模𝑎𝑎𝑥𝑦夹角𝑎𝑥𝑦两非零向量⊥的充要条件⇔当且仅当时等号成立⇔𝑥𝑦𝑥𝑦平面向量数量积的运算律交换律结合律分配律下列结论正确的打,错误的打“”向量在另个向量方向上的投影也是向量若,则和的夹角为锐角若......”。

9、“.....则或若,则答案解析解析关闭又答案解析关闭课标全国Ⅱ,文向量则广东,文在平面直角坐标系中,已知四边形是平行四边形,则𝐴𝐷𝐴𝐶答案解析解析关闭𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴𝐷所以𝐴𝐷𝐴𝐶,答案解析关闭答案解析解析关闭,⊥故选答案解析关闭福建,文设若⊥,则实数的值等于答案解析解析关闭由,即,解得由,得,即因此,且答案解析关闭,,已知若与的夹角为钝角,则的取值范围是自测点评由于和都是数量,所以和在方向上的投影都是个数量,而不是向量对于两个非零向量与,由于当时所以是两个向量,夹角为锐角的必要而不充分条件也不能推出或,因为时,有可能⊥在实数运算中,若,,则若,则但对于向量,却有若,则不定成立,原因是,当时,与不定相等向量数量积的运算不满足乘法结合律,即不定等于,这是由于表示个与共线的向量,而表示个与共线的向量,而与不定共线考点考点考点知识方法易错易混考点平面向量数量积的运算例云南统检测设向量如果向量与平行,那么与的数量积等于答案解析解析关闭由题意得......”。