⇔相交⇔相切，圆方法位置关系几何法圆心距与，的关系代数法联立两圆方程组成方程组的解的情况外离无解外切组实数解相交两组不同的实数解内切≠组实数解内含≠无解知识拓展圆的切线方程常用结论过圆上点，的圆的切线方程为过圆上点，的圆的切线方程为过圆外点，作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为圆与圆的位置关系的常用结论两圆的位置关系与公切线的条数内含条内切条相交条④外距离等于半径，从而建立关系解决问题过点，作圆的弦，其中最短弦的长为过原点作圆的两条切线，设切点分别为则线段的长为方程为，即思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的半弦心距半径构成直角三角形圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的切线方程为设切线方程为，则切线方程为，过切点，的切线斜率为，过切点，的切线方程为或已知圆，求满足下列条件的圆的切线方程与直线平行与直线垂直过切点，解设切线方程为，则方程为，即，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所求切线方程为，即综上，切线切线，则切线方程为答案或解析当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意当直线的斜率存在时，设直线由题设可得，解得，所以直线的方程为故圆心在直线上，所以命题点直线与圆相切的问题例过点，引圆的为，设，将代入方程，整理得所以求的取值范围若，其中为坐标原点，求解由题设，可知直线的方程为，因为直线与圆交于两点，所以解得所以的取值范围，令得，解得所以命题点由直线与圆相交求参数问题例课标全国Ⅰ已知过点，且斜率为的直线与圆交于，两点答案解析由已知，得则，所以⊥，即⊥，故过三点的圆以为直径，得其方程为得，故的取值范围是的最大值为，最小值为题型三直线与圆的综合问题命题点求弦长问题例课标全国Ⅱ过三点，的圆交轴于两点，则，表示以，为圆心，半径等于的个圆再由∩≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切当半圆和圆相外切时，由，求得当半圆和圆相内切时，由，求值和最小值解，即，表示以原点为圆心，半径等于的半圆位于横轴或横轴以上的部分，，又，圆与内切设，且∩≠∅，求的最大的大小，写出结论圆，的位置关系为答案内切解析圆的圆心为半径，圆的圆心为半径∈，∪，思维升华判断圆与圆的位置关系时，般用几何法，其步骤是确定两圆的圆心坐标和半径长利用平面内两点间的距离公式求出圆心距，求比较∈，∪，思维升华判断圆与圆的位置关系时，般用几何法，其步骤是确定两圆的圆心坐标和半径长利用平面内两点间的距离公式求出圆心距，求比较的大小，写出结论圆，的位置关系为答案内切解析圆的圆心为半径，圆的圆心为半径，，又，圆与内切设，且∩≠∅，求的最大值和最小值解，即，表示以原点为圆心，半径等于的半圆位于横轴或横轴以上的部分，表示以，为圆心，半径等于的个圆再由∩≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切当半圆和圆相外切时，由，求得当半圆和圆相内切时，由，求得，故的取值范围是的最大值为，最小值为题型三直线与圆的综合问题命题点求弦长问题例课标全国Ⅱ过三点，的圆交轴于两点，则答案解析由已知，得则，所以⊥，即⊥，故过三点的圆以为直径，得其方程为，令得，解得所以命题点由直线与圆相交求参数问题例课标全国Ⅰ已知过点，且斜率为的直线与圆交于，两点求的取值范围若，其中为坐标原点，求解由题设，可知直线的方程为，因为直线与圆交于两点，所以解得所以的取值范围为，设，将代入方程，整理得所以由题设可得，解得，所以直线的方程为故圆心在直线上，所以命题点直线与圆相切的问题例过点，引圆的切线，则切线方程为答案或解析当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所求切线方程为，即综上，切线方程为或已知圆，求满足下列条件的圆的切线方程与直线平行与直线垂直过切点，解设切线方程为，则切线方程为设切线方程为，则切线方程为，过切点，的切线斜率为，过切点，的切线方程为，即思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的半弦心距半径构成直角三角形圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题过点，作圆的弦，其中最短弦的长为过原点作圆的两条切线，设切点分别为则线段的长为答案解析设圆心则，由题意知最短的弦过，且与垂直，所以最短弦长为将圆的方程化为标准方程为，则圆心为半径长为由题意可设切线的方程为，则圆心，到直线的距离等于半径长，即，解得或，则切线的方程为或联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为此即为，的坐标，由两点间的距离公式得高考中与圆交汇问题的求解与圆有关的最值问题典例湖南已知点在圆上运动，且⊥若点的坐标为则的最大值为组专项基础训练时间分钟广东平行于直线且与圆相切的直线的方程是答案或解析设所求直线方程为，依题有，解得，所以所求直线方程为或已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数的值为答案解析易知是边长为的等边三角形故圆心，到直线的距离为即，解得若圆∈与圆∈内切，则的最大值为答案解析圆∈化为，圆心坐标为半径为圆∈，化为，圆心坐标为半径为，圆∈与圆∈内切即，的最大值为过点，作圆的两条切线，切点分别为则直线的方程为答案解析如图所示由题意知⊥，直线的方程为，即若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为答案，解析因为直线与圆的两个交点关于直线对称，则与直线垂直，且过圆心，所以解得山东过点，作圆的两条切线，切点分别为则答案解析由题意，圆心为半径为如图所示，⊥轴，为直角三角形，其中则已知曲线，直线，若对于点存在上的点和上的点使得，则的取值范围为答案，解析曲线，是以原点为圆心，为半径的半圆，并且∈对于点存在上的点和上的点使得，说明是的中点，的横坐标，∈，在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是答案解析圆的标准方程为，圆心为，由题意知，到的距离应不大于，即整理，得解得故的最大值是已知以点，∈，≠为圆心的圆与轴交于点与轴交于点其中为原点求证的面积为定值设直线与圆交于点若，求圆的方程证明圆过原点，且圆的方程是，令，得令，得，即的面积为定值解垂直平分线段解得或当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意，舍去圆的方程为课标全国Ⅰ已知点圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点求的轨迹方程当时，求的方程及的面积解圆的方程可化为，所以圆心为半径为设则，由题设知，故，即由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是由可知的轨迹是以点，为圆心，为半径的圆由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而⊥因为的斜率为，所以的斜率为，故的方程为又，到的距离为，所以故的面积为组专项能力提升时间分钟已知圆与直线相交于，两点，则当的面积最大时，实数的值为答案解析因为的面积等于，所以当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为，因此，解得过点，引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于答案解析当时，面积最大此时到的距离设方程为，即由得也可在平面直角坐标系中，圆，圆若圆上存在点，使得过点可作条射线与圆依次交于点满足，则半径的取值范围是答案，解析由题意可知满足的点应在以为圆心，半径为的圆上及其内部且在圆的外部，记该圆为，若圆上存在满足条件的点，则圆与圆有公共点，所以，即，解得已知圆，直线求证对∈，直线与圆总有两个交点设直线与圆交于点若，求直线的倾斜角设直线与圆交于若定点，满足，求此时直线的方程证明直线恒过定点，由知点在圆内，所以直线与圆总有两个交点解圆心到直线的距离，又，所以，解得，所以，的倾斜角为或解方法设，由得，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，⇒，所以由消去，解得，故所求直线的方程为或方法二如图，过点作⊥于，设，则在中，有，得，在中所以，从而又直线的方程为解得，故所求直线的方程为或已知圆和点，若过点有且只有条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程若，过点的圆的两条弦，互相垂直，求的最大值解由条件知点在圆上，所以，则当时，点为，切，此时切线方程为即，当时，点为，切此时切线方程为即所以所求的切线方程为或设到直线，的距离分别为，则又有所以则因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以所以，即的最大值为步步高江苏专用版高考数学轮复习第九章平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系文判断直线与圆的位置关系常用的两种方法几何法利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系⇔相离代数法判别式⇔相交⇔相切，圆方法位置关系几何法圆心距与，的关系代数法联立两圆方程组成方程组的解的情况外离无解外切组实数解相交两组不同的实数解内切≠组实数解内含≠无解知识拓展圆的切线方程常用结论过圆上点，的圆的切线方程为过圆上点，的圆的切线方程为过圆外点，作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为圆与圆的位置关系的常用结论两圆的位置关系与公切线的条数内含条内切条相交条④外切条外离条当两圆相交时，两圆方程，项系数相同相减便可得公共弦所在直线的方程思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或是直线与圆相交的必要不充分条件如果两