的方程为的方程为解得交点的坐标为注意到及，则有因此点在定直线上≠解依题设，切线的斜率存在且不等于，设切线的方程为≠，代入得，即由得，化简整理得故切线的方程可写为分别令，得，的坐标为则，即为定值福建已知点为抛物线的焦点，点，在抛物线上，且求抛物线的方程已知点延长交抛物当且仅当时取等号将代入，得负值舍去将代入，得，即点将点代入，得直线，消去得又，⇒，由抛物线定义，得交于，两点，且，其中为坐标原点求的值当最小时，求直线的方程解设直线的方程为联立，涉及抛物线的弦长中点距离等相关问题时，般利用根与系数的关系采用设而不求整体代入等解法提醒涉及弦的中点斜率时般用点差法求解已知过点，的直线与抛物线与椭圆双曲线的位置关系类似，般要用到根与系数的关系有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用般弦长公式，由，得由得，所以，当时，取到最大值，此时所以，面积的最大值为思维升华直线与抛物线的位置关系和直线由，得于是，所以的中点的坐标为由，得，所以由抛物线定义知，得到，所以，或，由得，或，设直线的方程为，点，已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，点为的中点，若，求点的坐标求面积的最大值解由题意知焦点准线方程为设将上面各个量代入，化简得，所以命题点与抛物线弦的中点有关的问题例浙江如图与抛物线方程联立，消去化简得设点，则，所以，因为线与抛物线的交点问题例已知抛物线与点过的焦点且斜率为的直线与交于两点若，则答案解析抛物线的焦点为则直线方程为分别过，作准线的垂线，垂足为过作准线的垂线，垂足为，则所以以为直径的圆与抛物线的准线相切题型三直线与抛物线的综合问题命题点直，所以因为代入上式，得定值设的中点为坐标为，由题意可设直线方程为，代入，得，即则，是方程的两个实数根，所以因为所以的焦点为是过的直线与抛物线的两个交点，求证为定值以为直径的圆与抛物线的准线相切证明由已知得抛物线焦点点顶点准线的问题更是如此陕西若抛物线的准线经过双曲线的个焦点，则答案解析由于双曲线的焦点为故应有，已知抛物线点顶点准线的问题更是如此陕西若抛物线的准线经过双曲线的个焦点，则答案解析由于双曲线的焦点为故应有，已知抛物线的焦点为是过的直线与抛物线的两个交点，求证为定值以为直径的圆与抛物线的准线相切证明由已知得抛物线焦点坐标为，由题意可设直线方程为，代入，得，即则，是方程的两个实数根，所以因为所以，所以因为代入上式，得定值设的中点为分别过，作准线的垂线，垂足为过作准线的垂线，垂足为，则所以以为直径的圆与抛物线的准线相切题型三直线与抛物线的综合问题命题点直线与抛物线的交点问题例已知抛物线与点过的焦点且斜率为的直线与交于两点若，则答案解析抛物线的焦点为则直线方程为，与抛物线方程联立，消去化简得设点，则，所以，因为将上面各个量代入，化简得，所以命题点与抛物线弦的中点有关的问题例浙江如图，已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，点为的中点，若，求点的坐标求面积的最大值解由题意知焦点准线方程为设由抛物线定义知，得到，所以，或，由得，或，设直线的方程为，点，由，得于是，所以的中点的坐标为由，得，所以，由，得由得，所以，当时，取到最大值，此时所以，面积的最大值为思维升华直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线的位置关系类似，般要用到根与系数的关系有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用般弦长公式涉及抛物线的弦长中点距离等相关问题时，般利用根与系数的关系采用设而不求整体代入等解法提醒涉及弦的中点斜率时般用点差法求解已知过点，的直线与抛物线交于，两点，且，其中为坐标原点求的值当最小时，求直线的方程解设直线的方程为联立消去得又，⇒，由抛物线定义，得，当且仅当时取等号将代入，得负值舍去将代入，得，即点将点代入，得直线的方程为，即直线与圆锥曲线问题的求解策略典例分山东已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意点，过点的直线交于另点，交轴的正半轴于点，且有当点的横坐标为时，为正三角形求的方程若直线∥，且和有且只有个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值若不存在，请说明理由规范解答解由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知，解得或舍去由，解得所点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为答案解析的焦点坐标为过焦点且斜率为的直线方程为，即，将其代入，得，即设则抛物线的方程为，其准线方程为已知抛物线的焦点弦的两端点坐标分别为则的值定等于答案解析若焦点弦⊥轴，则，所以，若焦点弦不垂直于轴，可设的直线方程为，联立得，则所以故已知抛物线的方程为，过抛物线上点，和抛物线的焦点作直线交抛物线于另点，则∶答案∶解析由题意得，直线，联立方程，，解得∶∶课标全国Ⅱ改编设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则答案解析焦点的坐标为方法直线的斜率为，所以直线的方程为，即，代入，得设则，所以方法二由抛物线焦点弦的性质可得已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则答案解析由题意知代入方程得如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为答案解析如图，分别过作⊥于，⊥于，由抛物线的定义知连结，则为等边三角形，过作⊥于，则为的中点，设交轴于，则，即，抛物线方程为已知条过点，的直线与抛物线交于，两点，且是弦的中点，则直线的方程为答案解析依题意，设点则有两式相减得，即，直线的斜率为，直线的方程是，即如图，已知抛物线有个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边与的长分别为和，求抛物线的方程解设直线的方程为，≠，则直线的方程为，由得或点坐标为同理得点坐标为由可得，得，即则又，则，故所求抛物线方程为抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点若，求直线的斜率设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值解依题意知设直线的方程为将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得设所以，因为，所以联立和，消去得所以直线的斜率是由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于因为，所以当时，四边形的面积最小，最小值是组专项能力提升时间分钟四川改编设直线与抛物线相交于，两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是答案，解析设则相减得，当的斜率不存在时，符合条件的直线必有两条当直线的斜率存在时，如图≠，则有，即，由⊥得，即必在直线上，将代入，得点在圆上，又已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足为，若与其中为坐标原点的面积之比为∶，则点的坐标为答案解析如图所示，由题意，可得，由抛物线的定义，得，与其中为坐标原点的面积之比为∶，设点的坐标是对于抛物线上任意点，点，都满足，则的取值范围是答案∞，解析设由，得，恒成立，则江西如图，已知抛物线，过点，任作直线与相交于，两点，过点作轴的平行线与直线相交于点为坐标原点证明动点在定直线上作的任意条切线不含轴，与直线相交于点，与中的定直线相交于点，证明为定值，并求此定值证明依题意可设方程为，代入，得，即设则有直线的方程为的方程为解得交点的坐标为注意到及，则有因此点在定直线上≠解依题设，切线的斜率存在且不等于，设切线的方程为≠，代入得，即由得，化简整理得故切线的方程可写为分别令，得，的坐标为则，即为定值福建已知点为抛物线的焦点，点，在抛物线上，且求抛物线的方程已知点延长交抛物线于点，证明以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切方法解由抛物线的定义得因为，即，解得，所以抛物线的方程为证明因为点，在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设，由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而，又所以，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切方法二解同方法证明设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点，在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设，由，可得直线的方程为由，得解得或，从而，又故直线的方程为从而又直线的方程为所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切步步高江苏专用版高考数学轮复习第九章平面解析几何抛物线文抛物线的概念平面内到个定点和条定直线不在上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线抛物线的标准方程与几何性质标准方程的几何意义焦点到准线的距离图形顶点，对称轴焦点，，，，离心率准线方程范围，∈，∈，∈，∈开口方向向右向左向上向下知识拓展抛物线上点，到焦点，的距离，也称为抛物线的焦半径的焦点坐标为准线方程为思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与个定点和条定直线的距离相等的点的轨迹定是抛物线方程≠表示的曲线是焦点在轴上的抛物线，且其焦点坐标是准线方程是抛物线既是中心对称图形，又是轴对称