式组，则该约束条件所围成的平面区域的面积是答案解析因为直线与互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得故其面积为北京改编若，满足，则的最大值为答案解析可行域如图所示目标函数化为，当直线过点，时，取得最大值教材改编投资生产产品时，每生产吨需要资金万元，需场地平方米投资生产产品时，每生产吨需要资金万元，需场地平方米现单位可使用资金万元，场地平方米，则上述要求可用不等式组表示为点，与原点，连线的斜率，表示点，与点，连线的斜率当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件无锡模在直角坐标平面内，不等式组当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有表示点，与原点，的距离，表示点，与点，的距离表示直线过交点时，取最小值，由，，得，解得思维升华先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值命题点求线性规划的参数例已知满足约束条件，若的最小值为，则答案解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分易知，而表示点，与，的距离的平方的取值范围是，引申探究若，求的取值范围解可以看作过点，及，两点的直线的斜率的取值范围是∞，若求的最大值最小值解围是，∞表示可行域内的任意点与坐标原点之间距离的平方因此的值最小为取不到，最大值为由得内任点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线的斜率到直线的斜率直线的斜率不存在，即不存在由得，即，的取值范，求的最大值和最小值，并求的取值范围若，求的最大值与最小值，并求的取值范围解由作出可行域，如图中阴影部分所示表示可行域经过点时当直线经过点时，故命题点求非线性目标函数的最值例实数，满足，若画出可行域，如图阴影部分所示由，得由得，由得，当直线题型二求目标函数的最值问题命题点求线性目标函数的最值例广东若变量，满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则答案解析不可能垂直，所以只有可能与垂直或与垂直当与垂直时检验知三角形区域面积为，即符合要求当与垂直时检验不符合要求∞解析直线过定点由图可知，当直线经过直线与直线的交点，时，最小，此时，因此，即∈，∞由于与为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为已知约束条件表示面积为的直角三角形区域，则实数的值为答案，接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解不等式组表示的平面区域式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形如平行四边形或梯形，可利用面积公式直接式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形如平行四边形或梯形，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为已知约束条件表示面积为的直角三角形区域，则实数的值为答案，∞解析直线过定点由图可知，当直线经过直线与直线的交点，时，最小，此时，因此，即∈，∞由于与不可能垂直，所以只有可能与垂直或与垂直当与垂直时检验知三角形区域面积为，即符合要求当与垂直时检验不符合要求题型二求目标函数的最值问题命题点求线性目标函数的最值例广东若变量，满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则答案解析画出可行域，如图阴影部分所示由，得由得，由得，当直线经过点时当直线经过点时，故命题点求非线性目标函数的最值例实数，满足，若，求的最大值和最小值，并求的取值范围若，求的最大值与最小值，并求的取值范围解由作出可行域，如图中阴影部分所示表示可行域内任点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线的斜率到直线的斜率直线的斜率不存在，即不存在由得，即，的取值范围是，∞表示可行域内的任意点与坐标原点之间距离的平方因此的值最小为取不到，最大值为由得的取值范围是，引申探究若，求的取值范围解可以看作过点，及，两点的直线的斜率的取值范围是∞，若求的最大值最小值解，而表示点，与，的距离的平方命题点求线性规划的参数例已知满足约束条件，若的最小值为，则答案解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分易知直线过交点时，取最小值，由，，得，解得思维升华先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有表示点，与原点，的距离，表示点，与点，的距离表示点，与原点，连线的斜率，表示点，与点，连线的斜率当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件无锡模在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则的值为安徽改编，满足约束条件若取得最大值的最优解不唯，则实数的值为答案或解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示由解得交点在中，令得，即直线与轴的交点为由平面区域的面积，得，解得或不合题意，舍去如图，由知的几何意义是直线在轴上的截距，故当时，要使时，截距取最大值时，也取最大值截距取最小值时，也取最小值当时，截距取最大值时，取最小值截距取最小值时，取最大值组专项基础训练时间分钟直线与不等式组，表示的平面区域的公共点有个答案解析由不等式组画出平面区域如图阴影部分直线恰过点且其斜率所表示的平面区域内，则的取值范围是答案解析由，得设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为答案解析由线性约束条件画出可行域如图所示由，得，的几何意义是直线在轴上的截距，要使最小，需使最小，易知当直线过点，时，最小，最小值为若不等式组表示的平面区域是个三角形，则的取值范围是答案，∪，∞解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分，求得，两点的坐标分别为，和若原不等式组表示的平面区域是个三角形，则取值范围是或公司生产甲乙两种桶装产品已知生产甲产品桶需耗原料千克原料千克生产乙产品桶需耗原料千克原料千克每桶甲产品的利润是元，每桶乙产品的利润是元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗原料都不超过千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是元答案解析设每天生产甲种产品桶，乙种产品桶，则根据题意得的约束条件为，∈∈设获利元，则画出可行域如图画直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值由解得即的坐标为元若函数图象上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为答案解析在同直角坐标系中作出函数的图象及，所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当时，函数的图象上存在点，满足约束条件，故的最大值为枣庄模拟已知实数，满足约束条件，则的最小值是答案解析作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点，与定点，所在直线的斜率，由图象可知当位于点，时，直线的斜率最小，此时的最小值为已知实数，满足则的取值范围是答案，解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知，即的取值范围是，铁矿石和的含铁率，冶炼每万吨铁矿石的的排放量及每万吨铁矿石的价格如表万吨百万元冶炼厂至少要生产万吨铁，若要求的排放量不超过万吨，则购买铁矿石的最少费用为百万元答案解析设购买铁矿石分别为万吨，万吨，购买铁矿石的费用为百万元，则，目标函数，由得，记画出可行域可知，当目标函数过点，时，取到最小值设实数，满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为答案解析因为，所以由可行域得，如图，当目标函数过点，时取最大值，的几何意义是直线上任意点到点，的距离的平方，那么其最小值是点，到直线距离的平方，则的最小值是组专项能力提升时间分钟已知变量，满足约束条件，若的最大值与最小值分别为且方程在区间，上有两个不同实数解，则实数的取值范围是答案，解析作出可行域，如图所示，则目标函数在点，处取得最大值，在点，处取得最小值，从而可知方程在区间，上有两个不同实数解令，则，，⇒在平面直角坐标系中，点是由不等式组所确定的平面区域内的动点，是直线上任意点，为坐标原点，则的最小值为答案解析在直线上取点，使得，则，其中，分别为点，在直线上的投影，如图因为，因此设平面点集，则∩所表示的平面图形的面积为答案解析平面点集表示的平面区域就是不等式组，与，表示的两块平面区域，而平面点集表示的平面区域为以点，为圆心，以为半径的圆及圆的内部，作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是∩所表示的平面图形由于圆和曲线关于直线对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的，即为已知圆，平面区域若圆心∈，且圆与轴相切，则的最大值为答案解析由已知得平面区域为内部及边界圆与轴相切，显然当圆心位于直线与的交点，处时，的最大值为已知变量，满足约束条件，若目标函数其中仅在点，处