上是减函数又，所以当时，最小值是当时，最小值为在区间，上是减函数，所以的最小值是分当，即时，函数在区间，上是增函数，所以的最小值是分当，即，∞分综上可知，当时，函数的单调递增区间为，∞当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为，∞分当，即时，函数的单调递增区间为，∞分当时，令，可得，当当时，故函数的单调递增区间为单调递减区间为，从而当时，求函数在，上的最小值思维点拨已知函数解析式求单调区间，实质上是求当时，即函数显然成立当时，即∈，时，可化为设，则，所以在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，因此出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值设函数∈，若对于任意∈都有成立，则实数的值为答案解析若，则不论取何值，当时所以函数在区间，∞上的最大值是思维升华求函数在无穷区间或开区间上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同又因为，所以，即两个零点为和求的单调区间若的极小值为，求在区间，∞上的最大值解，当当时，解得题型三函数极值和最值的综合问题例已知函数的导函数的时，函数在区间，上无最小值当，当∈，时，的最小值为，则的值等于答案解析由题意知，当∈，时，的最大值为令，得上单调递增，所以当时，函数取得最小值若，则当∈，时函数在区间，上单调递减，所以当时，函数取得最小值综上可知，当，所以令，得若，则，在区间，上单调递增，此时函数无最小值若，函数在区间∞因此，即曲线在点，处的切线斜率为又，所以曲线在点，处的切线方程为，即因为，∞因此，即曲线在点，处的切线斜率为又，所以曲线在点，处的切线方程为，即因为，所以令，得若，则，在区间，上单调递增，此时函数无最小值若，函数在区间，上单调递增，所以当时，函数取得最小值若，则当∈，时函数在区间，上单调递减，所以当时，函数取得最小值综上可知，当时，函数在区间，上无最小值当，当∈，时，的最小值为，则的值等于答案解析由题意知，当∈，时，的最大值为令，得，当当时，解得题型三函数极值和最值的综合问题例已知函数的导函数的两个零点为和求的单调区间若的极小值为，求在区间，∞上的最大值解令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同又因为，所以，即，当时所以函数在区间，∞上的最大值是思维升华求函数在无穷区间或开区间上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值设函数∈，若对于任意∈都有成立，则实数的值为答案解析若，则不论取何值，显然成立当时，即∈，时，可化为设，则，所以在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，因此，从而当时，求函数在，上的最小值思维点拨已知函数解析式求单调区间，实质上是求当时，即函数的单调递增区间为，∞分当时，令，可得，当当时，故函数的单调递增区间为单调递减区间为，∞分综上可知，当时，函数的单调递增区间为，∞当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为，∞分当，即时，函数在区间，上是减函数，所以的最小值是分当，即时，函数在区间，上是增函数，所以的最小值是分当，即时，函数在，上是增函数，在，上是减函数又，所以当时，最小值是当时，最小值为分综上可知，当由已知可得有两个不相等的实根，即或时，的极大值是正数，极小值是负数，则的取值范围是答案，∞解析，由得，当或，函数递增且的取值范围是，∞设，其中∈，曲线在点，处的切线与轴相交于点，确定的值求函数的单调区间与极值解因为，所以令，得所以曲线在点，处的切线方程为，由点，在切线上，可得，故由知，令，解得或当时，故在，∞上为增函数当时，故在，上为减函数由此可知在处取得极大值，在处取得极小值综上，的单调增区间为，∞，单调减区间为的极大值为，极小值为已知函数求的单调区间求在区间，上的最小值解由题意知令，得与随的变化情况如下表∞∞↘↗所以，的单调递减区间是∞单调递增区间是，∞当，即时，在，上单调递增，所以在区间，上的最小值为当，且，则不等式，所以不等式的解集为，∞若函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为答案解析根据的符号，图象应该是先下降后上升，最后下降，排除④从适合的点可以排除函数的极大值为，极小值为，则的单调递减区间是答案，解析令，得，则，随的变化情况如下表∞，∞↗极大值↘极小值↗从而，，解得，所以的单调递减区间是，若函数在，上有最小值，则实数的取值范围是答案，解析，得，且为函数的极小值点，为函数的极大值点函数在区间，上有最小值，则函数极小值点必在区间，内，即实数满足且解，得不等式，即，即，即，即，即故实数的取值范围是，已知函数在处取得极值求的值求函数在，上的最小值求证对任意，∈都有解，由已知得，即，解得解，令，得，令，得所以函数在∞，上单调递减，在，∞上单调递增当时，在，上单调递增当时在，上单调递减，在，上单调递增当时在，上单调递减，综上，在，上的最小值，证明由知，令，得因为，所以∈，时所以对任意，∈都有课时导数与函数的极值最值题型用导数解决函数极值问题命题点根据函数图象判断极值例设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则函数的极大值极小值分别是答案解析由题图可知，当当时由此可以得到函数在处取得极大值，在处取得极小值命题点求函数的极值例青岛二模已知函数∈且≠，求函数的极大值与极小值解由题设知≠，令得或当时，随着的变化，与的变化情况如下∞，∞↗极大值↘极小值↗极大值，极小值当时，随着的变化，与的变化情况如下∞，∞↘极小值↗极大值↘极大值，极小值综上，极大值，极小值命题点已知极值求参数例已知在时有极值，则若函数在区间，上有极值点，则实数的取值范围是答案，解析由题意得，则解得，或经检验当，时，函数在处无法取得极值，而，满足题意，故若函数在区间，上无极值，则当∈，时，恒成立或当∈，时，恒成立当∈，时，的值域是当∈，时即恒成立当∈，时即恒成立，因此要使函数在，上有极值点，实数的取值范围是，思维升华求函数极值的步骤确定函数的定义域求导数解方程，求出函数定义域内的所有根④列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值若函数在区间，内有极值，那么在，内绝不是单调函数，即在区间上单调函数没有极值函数的极大值是陕西函数在其极值点处的切线方程为答案解析，令，得当当时当时，取极大值设，令，得当时当时故为函数的极值点，切线斜率为，又，故切点坐标为切线方程为，即题型二用导数求函数的最值例已知∈，函数当时，求曲线在点，处的切线方程求在区间，上的最小值解当时∈，∞，所以，∈，∞因此，即曲线在点，处的切线斜率为又，所以曲线在点，处的切线方程为，即因为，所以令，得若，则，在区间，上单调递增，此时函数无最小值若，函数在区间，上单调递增，所以当时，函数取得最小值若，则当∈，时函数在区间，上单调递减，所以当时，函数取得最小值综上可知，当时，函数在区间，上无最小值当，当∈，时，的最小值为，则的值等于答案解析由题意知，当∈，时，的最大值为令，得，当当时，解得题型三函数极值和最值的综合问题例已知函数的导函数的两个，所以令，得若，则，在区间，上单调递增，此时函数无最小值若，函数在区间，时，函数在区间，上无最小值当，当∈，时，的最小值为，则的值等于答案解析由题意知，当∈，时，的最大值为令，得两个零点为和求的单调区间若的极小值为，求在区间，∞上的最大值解，当时所以函数在区间，∞上的最大值是思维升华求函数在无穷区间或开区间上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画显然成立当时，即∈，时，可化为设，则，所以在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，因此的单调递增区间为，∞分当时，令，可得，当当时，故函数的单调递增区间为单调递减区间为在区间，上是减函数，所以的最小值是分当，即时，函数在区间，上是增函数，所以的最小值是分当，即分综上可知，当由已知可得有两个不相等的实根，即或时，的极大值是正数，极小值是负数，则的取值范围是答案