，即所以，从而切点切线方程为求曲线与直线所围图形的面积如图所示误解所示点的切线轴所围成图形的面积为，曲边三角形，曲边三角形点评本题主要考查导数与定积分的有关知识，解决本题的关键是求出曲边三角形的面积的坐标以及过切点的切线方程解析如图所示，设切点由，过点的切线方程为，即令，得，记切线与轴的交点为，设由曲线和过阴影部分的面积是在曲线上点处作条切线，使之与曲线以及轴所围成图形的面积为试求切点处的切线与直线平行求的解析式求由曲线与，所围成的平面图形的面积解析由已知得，求得，由题意知综合应用已知曲线在分问题求解解析图形如图所示，由，与，及得交点分别为，，阴，则阴分析根据微积分基本定理，关键求相应被积函数的个原函数求函数的定积分求下列定积分的值答案解析从如图所示的长方形区域内任取个点则点取自阴影部分的概率为答案解析长方形的面积为,时，物体下落的距离为解析物体下落的距离故选答案等于解析相反数才是其平面图形的面积湖南理，答案解析答案已知自由下落的物体的运动速度为常数，则当广泛常见的求平面曲边梯形的面积，变速运动物体的行程变力所做的功等在解决上述问题时，可利用数形结合的方法，作出的草图后再求解如若，则，此时其围成的图形面积的代数和，其中轴上方的面积取正值，轴下方的面积取负值微积分基本定理的简单应用及需要注意的问题微积分基本定理提供了计算定积分的有效方法，避免了用定义求解定积分的复杂运算，其应用十分梯形的面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为如图所示，且等于位于轴上方的曲边梯形的面积减去位于轴下方的曲边梯形的面积由此可得定积分的几何意义是在区间，上曲线与轴所形位于轴上方时如图所示定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积当对应的曲边梯形位于轴下方时如图所示，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数当位于轴上方的曲边数的定积分的性质若是偶函数时，若是奇函数时，由微积分基本定理理解定积分的几何意义当对应的曲边梯的关键是找出使的函数通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出求导运算与求原函数运算互为逆运算奇函数偶函数的关键是找出使的函数通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出求导运算与求原函数运算互为逆运算奇函数偶函数的定积分的性质若是偶函数时，若是奇函数时，由微积分基本定理理解定积分的几何意义当对应的曲边梯形位于轴上方时如图所示定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积当对应的曲边梯形位于轴下方时如图所示，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数当位于轴上方的曲边梯形的面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为如图所示，且等于位于轴上方的曲边梯形的面积减去位于轴下方的曲边梯形的面积由此可得定积分的几何意义是在区间，上曲线与轴所围成的图形面积的代数和，其中轴上方的面积取正值，轴下方的面积取负值微积分基本定理的简单应用及需要注意的问题微积分基本定理提供了计算定积分的有效方法，避免了用定义求解定积分的复杂运算，其应用十分广泛常见的求平面曲边梯形的面积，变速运动物体的行程变力所做的功等在解决上述问题时，可利用数形结合的方法，作出的草图后再求解如若，则，此时其相反数才是其平面图形的面积湖南理，答案解析答案已知自由下落的物体的运动速度为常数，则当,时，物体下落的距离为解析物体下落的距离故选答案等于解析答案解析从如图所示的长方形区域内任取个点则点取自阴影部分的概率为答案解析长方形的面积为，阴，则阴分析根据微积分基本定理，关键求相应被积函数的个原函数求函数的定积分求下列定积分的值分问题求解解析图形如图所示，由，与，及得交点分别为，综合应用已知曲线在处的切线与直线平行求的解析式求由曲线与，所围成的平面图形的面积解析由已知得，求得，由题意知阴影部分的面积是在曲线上点处作条切线，使之与曲线以及轴所围成图形的面积为试求切点的坐标以及过切点的切线方程解析如图所示，设切点由，过点的切线方程为，即令，得，记切线与轴的交点为，设由曲线和过点的切线轴所围成图形的面积为，曲边三角形，曲边三角形点评本题主要考查导数与定积分的有关知识，解决本题的关键是求出曲边三角形的面积，即所以，从而切点切线方程为求曲线与直线所围图形的面积如图所示误解所示面积为正解点评当对应曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等于定积分的相反数，本题求曲线与直线所围成图形的面积时应先判断曲线在轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的利用定积分求曲边图形面积时避免出错的措施为当对应的曲边图形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积当对应的曲边图形位于轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边图形的面积的相反数当位于轴上方的曲边图形面积等于位于轴下方的曲边图形面积时，定积分为，且等于位于轴上方的曲边图形面积减去位于轴下方的曲边图形面积求由抛物线与直线及所围成图形的面积误解由题意并解方程组，解得，所以直线与的交点坐标为因此，所求面积为正解作出直线与抛物线的草图，如图所示解方程组，又，，直线与抛物线的交点坐标为,因此，所求图形的面积为点评在利用定积分求平面图形的面积时，般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上下限定积分的应用之就是求平面图形面积，求解时要灵活选择坐标系与积分变量由图形特点，适当选取积分变量对计算量有很大影响，上面错解是由于被积函数与积分上下限不对应成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修定积分第四章第四章微积分基本定理课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习通过实例，直观了解微积分基本定理的含义及意义会用微积分基本定理求函数的定积分会用定积分求相关图形的面积变速直线运动的路程及变力做功问题本节重点微积分基本定理本节难点微积分基本定理的应用微积分基本定理的内容设在区间，上连续，且是它在该区间上的个原函数，则有牛顿莱布尼茨公式通常称是的个在计算定积分时，常常用符号来表示，牛顿莱布尼茨公式也可写作原函数微积分基本定理表明，计算定积分的关键是找出满足的函数只要我们求出的个原函数，在区间两端点处的函数值之差就是的值常见函数的原函数的原函数的原函数的原函数的原函数的原函数的原函数的原函数的原函数对定理的四点说明根据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便设是定义在区间上的个函数，如果存在函数，在区间上的任何点处都有，那么叫作函数在区间上的个原函数根据定义，求函数的原函数，就是要求个函数，使它的导数等于由于，所以也是的原函数，其中为常数利用微积分基本定理求定积分的关键是找出使的函数通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出求导运算与求原函数运算互为逆运算奇函数偶函数的定积分的性质若是偶函数时，若是奇函数时，由微积分基本定理理解定积分的几何意义当对应的曲边梯形位于轴上方时如图所示定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积当对应的曲边梯形位于轴下方时如图所示，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数当位于轴上方的曲边梯形的面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为如图所示，且等于位于轴上方的曲边梯形的面积减去位于轴下方的曲边梯形的面积由此可得定积分的几何意义是在区间，上曲线与轴所围成的图形面积的代数和，其中轴上方的面积取正值，轴下方的面积取负值微积分基本定理的简单应用及需要注意的问题微积分基本定理提供了计算定积分的有效方法，避免了用定义求解定积分的复杂运算，其应用十分广泛数的定积分的性质若是偶函数时，若是奇函数时，由微积分基本定理理解定积分的几何意义当对应的曲边梯梯形的面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为如图所示，且等于位于轴上方的曲边梯形的面积减去位于轴下方的曲边梯形的面积由此可得定积分的几何意义是在区间，上曲线与轴所广泛常见的求平面曲边梯形的面积，变速运动物体的行程变力所做的功等在解决上述问题时，可利用数形结合的方法，作出的草图后再求解如若，则，此时其,时，物体下落的距离为解析物体下落的距离故选答案等于解析，阴，则阴分析根据微积分基本定理，关键求相应被积函数的个原函数求函数的定积分求下列定积分的值综合应用已知曲线在阴影部分的面积是在曲线上点处作条切线，使之与曲线以及轴所围成图形的面积为试求切点点的切线轴所围成图形的面积为，曲边三角形，曲边三角形点评本题主要考查导数与定积分的有关知识，解决本题的关键是求出曲边三角形的面积