底面是的中点。证明二面角进出，二面角等于法向量的夹角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,,直线与平面所成角,,所以，即取得，所以平面的个法向量为且，所以二面角的余弦值为。小结异面直线所成角由得设平面的个法向量为，点求证直线面求二面角的余弦值由知平面所以是平面的个法向量，所以，即，。又所以平面已知正方体的边长为，为和的交点，为的中。所以例正三棱柱中，是的中点，当时，求二面角的余弦值。证明以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得解得所以，可取二面角的大小等于,,即二面角的余弦值为向量为解以为原点建立空间直角坐标系则取为面的法向量由得，，,,注意法向量的方向进出，二面角等于法向量夹角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角设面的个法则中，求二面角的大小三面面角二面角的范围,法向量法，，所成的角正方体，设正方体棱长为，为单以平面的法向量为，则与的关系思考结论,二线面角，例的棱长为求与面如图，，为平面外点，，求与平面所成的角，直线与平面所成角的范围,,设最小角原理斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的切角中最小的角。若直线与平面所成的角为，则这条直线与平面内的直线所成的切角中最小的角为，最大的角为。面所成的角直线与平面所成的角异面直线所成的角如图,直线与平面所成的角为,平面内条直线与的射影所成的角为,设为求证面所成的角直线与平面所成的角异面直线所成的角如图,直线与平面所成的角为,平面内条直线与的射影所成的角为,设为求证最小角原理斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的切角中最小的角。若直线与平面所成的角为，则这条直线与平面内的直线所成的切角中最小的角为，最大的角为。如图，，为平面外点，，求与平面所成的角，直线与平面所成角的范围,,设平面的法向量为，则与的关系思考结论,二线面角，例的棱长为求与面所成的角正方体，设正方体棱长为，为单以则中，求二面角的大小三面面角二面角的范围,法向量法，，，，,,注意法向量的方向进出，二面角等于法向量夹角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角设面的个法向量为解以为原点建立空间直角坐标系则取为面的法向量由得解得所以，可取二面角的大小等于,,即二面角的余弦值为例正三棱柱中，是的中点，当时，求二面角的余弦值。证明以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得。所以，所以，即，。又所以平面已知正方体的边长为，为和的交点，为的中点求证直线面求二面角的余弦值由知平面所以是平面的个法向量由得设平面的个法向量为，所以，即取得，所以平面的个法向量为且，所以二面角的余弦值为。小结异面直线所成角,直线与平面所成角,,二面角进出，二面角等于法向量的夹角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,,异面直线所成角的范围,,与的关系思考,与的关系结论,线线角，，设直线方向向量方的的向向量为，为所以与所成角的余弦值为解以点为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则,所以,,例,中，现将沿着平面的法向量，求与所成的角的余弦值平移到位置，已知取的中取的中点，斜线与平面所成的角平面的条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角二线面角当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是斜线与平面所成的角直线与平面所成的角异面直线所成的角如图,直线与平面所成的角为,平面内条直线与的射影所成的角为,设为求证最小角原理斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的切角中最小的角。若直线与平面所成的角为，则这条直线与平面内的直线所成的切角中最小的角为，最大的角为。如图，，为平面外点，，求与平面所成的角，直线与平面所成角的范围,,设平面的法向量为，则与的关系思考结论,二线面角，例的棱长为求与面所成的角正方体，设正方体棱长为，为单以则，设为平面的法向量则，所以取得故位正交基底，可得，所以与面所成的角的正弦值为。例如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点。证明最小角原理斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的切角中最小的角。若直线与平面所成的角为，则这条直线与平面内的直线所成的切角中最小的角为，最大的角为。平面的法向量为，则与的关系思考结论,二线面角，例的棱长为求与面则中，求二面角的大小三面面角二面角的范围,法向量法，，向量为解以为原点建立空间直角坐标系则取为面的法向量由得例正三棱柱中，是的中点，当时，求二面角的余弦值。证明以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得，所以，即，。又所以平面已知正方体的边长为，为和的交点，为的中由得设平面的个法向量为，,直线与平面所成角,,底面是的中点。证明