⊥∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面如图，在四棱锥中，平面⊥平面分别是，的中点求证直线∥平面平面⊥平面证明如图，在中，因为，分别为，的中点，所以∥又因为⊄平面，⊂平面，所以直线∥平面连接因为所以为正三角形因为是的中点，所以⊥因为平面⊥平面，⊂平面，平面∩平面底面为平行四边形，∥，又⊄平面，⊂平面，∥平面，因平面∩平面，∥，又是中点，是中点如图，已知中点证明连接设∩，连接，是平行四边形，是中点，在中，又是中点，∥，又⊂平面，⊄平面，∥平面面又⊂平面，∥平面青岛模四棱锥中，底面为平行四边形，是中点，过三点的平面交于求证∥平面求证是平行四边形，∥，又⊄平面，⊂平面，∥平面又在中，∥，⊄平面，⊂平面，∥平面，又∩，平面∥平，四边形为平行四边形，∥又⊄平面，⊂平面，∥平面法二取的中点，连接，在梯形中，∥，且，四边形为，∥，若为的中点，求证∥平面证明法取中点，连接，在中，是的中点，∥，且，又∥∥分又，所以为线段的中点分连接，由点是线段的中点，因此∥分又⊄平面，⊂平面，所以∥平面福建如图，在四棱锥中∥平面分法二如图，延长，交于点，连接因为所以分因为为正三角形，所以因此，所以因此，所以∥分又⊄平面，⊂平面，所以∥平面又∩，故平面∥平面，分又⊂平面，所以法如图，取的中点，连接，因为是的中点，所以∥分又⊄平面，⊂平面，∥平面分又因为为正三角形，所以，又的中点，连接，由于，所以⊥，分又⊥，∩⊂平面，所以⊥平面，因此⊥，分又为的中点，所以分山东卷，文如图，几何体是四棱锥，为正三角形⊥求证若，为线段的中点，求证∥平面图图如图，取证明法如图，连接分别是，的中点，∥又∥，∥又⊄平面，∥平面同理∥平面又∩，平面∥平面，是三棱柱的高又又，在正方体中，分别是的中点，求证平面∥平面面，∥平面∥∥，四边形是平行四边形，∥又⊄平面，∥平面又∩，平面∥平面解⊥平面形，是底面中心，⊥底面，证明平面∥平面求三棱柱的体积证明由题设知，∥，四边形是平行四边形，∥又⊄平，∥平面∩，平面∥平面⊂平面，直线∥平面考点三面面平行的判定与性质陕西卷如图，四棱柱的底面是正方形，∥平面∩，平面∥平面⊂平面，直线∥平面考点三面面平行的判定与性质陕西卷如图，四棱柱的底面是正方形，是底面中心，⊥底面，证明平面∥平面求三棱柱的体积证明由题设知，∥，四边形是平行四边形，∥又⊄平面，∥平面∥∥，四边形是平行四边形，∥又⊄平面，∥平面又∩，平面∥平面解⊥平面，是三棱柱的高又又，在正方体中，分别是的中点，求证平面∥平面证明法如图，连接分别是，的中点，∥又∥，∥又⊄平面，∥平面同理∥平面又∩，平面∥平面山东卷，文如图，几何体是四棱锥，为正三角形⊥求证若，为线段的中点，求证∥平面图图如图，取的中点，连接，由于，所以⊥，分又⊥，∩⊂平面，所以⊥平面，因此⊥，分又为的中点，所以分法如图，取的中点，连接，因为是的中点，所以∥分又⊄平面，⊂平面，∥平面分又因为为正三角形，所以，又因此，所以∥分又⊄平面，⊂平面，所以∥平面又∩，故平面∥平面，分又⊂平面，所以∥平面分法二如图，延长，交于点，连接因为所以分因为为正三角形，所以因此，所以分又，所以为线段的中点分连接，由点是线段的中点，因此∥分又⊄平面，⊂平面，所以∥平面福建如图，在四棱锥中，∥，若为的中点，求证∥平面证明法取中点，连接，在中，是的中点，∥，且，又∥∥，四边形为平行四边形，∥又⊄平面，⊂平面，∥平面法二取的中点，连接，在梯形中，∥，且，四边形为平行四边形，∥，又⊄平面，⊂平面，∥平面又在中，∥，⊄平面，⊂平面，∥平面，又∩，平面∥平面又⊂平面，∥平面青岛模四棱锥中，底面为平行四边形，是中点，过三点的平面交于求证∥平面求证是中点证明连接设∩，连接，是平行四边形，是中点，在中，又是中点，∥，又⊂平面，⊄平面，∥平面底面为平行四边形，∥，又⊄平面，⊂平面，∥平面，因平面∩平面，∥，又是中点，是中点如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，在上，且，是的中点求证，四点共面求证平面∥平面证明∥，∥又同理，∥，四边形是平行四边形，∥∥，四边形是平行四边形∥，∥，故四点共面是的中点，又，又，且，∽∥又由知∥，且∩，∩，平面∥平面直线平面垂直的判定与性质考点空间垂直关系的判定设，为不重合的平面为不重合的直线，则下列命题正确的是若⊥，∩，⊥，则⊥若⊂，⊂，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥若∥，∥，⊥，则⊥解析与，两垂直平面的交线垂直的直线，可与平行或相交，故错对，存在∥情况，故错对存在∥情况，故错由⊥，⊥，可知∥，又⊥，所以⊥，故正确答案已知平面和直线且⊥，⊥，∩，∩，给出下列四个结论⊥⊥⊥④⊥其中正确的是④④④解析如图，由题意，∩，⊂，由⊥，∩，且⊥，⊥，即正确由∩，⊂，由⊥，得⊥，即④正确而条件不充分，不能判断答案关于直线，及平面下列命题中正确的是若∥，∩由知⊥底面，所以⊥所以⊥平面，从而⊥，且⊂平面，又，分别是和的中点，所以∥，故⊥由，在平面内，且∩，⊥平面所以平面⊥平面在如图的多面体中，⊥底面，∥∥是的中点求证∥平面求证⊥平面证明∥，∥，∥又，是的中点，綉，四边形是平行四边形，∥⊄平面，⊂平面，∥平面连接，四边形是矩形，∥，⊥底面，⊥平面，⊂平面，⊥綉四边形为菱形，⊥，又∩，⊂平面，⊂平面，⊥平面如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，是等边三角形，棱∥，且求证∥面若，证明平面⊥平面证明取的中点，连接，为矩形的对角线的交点，∥，且，又∥，且且∥，四边形为平行四边形，∥，又⊂平面，⊄平面，∥平面由知四边形为平行四边形，又，四边形为菱形，连接，则有⊥，又是等边三角形，且为中点，⊥，易知⊥，且∩，⊥面，⊥∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面如图，在四棱锥中，平面⊥平面分别是，的中点求证直线∥平面平面⊥平面证明如图，在中，因为，分别为，的中点，所以∥又因为⊄平面，⊂平面，所以直线∥平面连接因为所以为正三角形因为是的中点，所以⊥因为平面⊥平面，⊂平面，平面∩平面，所以⊥平面又因为⊂平面，所以平面⊥平面如图，在边长为的等边三角形中分别是，上的点是的中点，与交于点将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中证明∥平面证明⊥平面当时，求三棱锥的体积证明在等边中在折叠后的图形中，仍有因此，从而∥因为⊄平面，⊂平面，所以∥平面证明在折叠前的图形中，因为为等边三角形所以⊥，则在折叠后的图形中，⊥，⊥，又所以，所以⊥又∩，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面解由知，平面∥平面，由知⊥，⊥，又∩，所以⊥平面，所以⊥平面，即⊥平面在折叠前的图形中，由知，又∥，所以，所以，所以故三棱锥三棱锥考点五线面角二面角的求法如图，在四棱锥中，⊥底面，⊥，⊥，是的中点求和平面所成的角的大小证明⊥平面求二面角的正弦值解在四棱锥中，因⊥底面，⊂平面，故⊥又⊥，∩，从而⊥平面，故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角在中故所以和平面所成的角的大小为证明在四棱锥中，因⊥底面，⊂平面，故⊥由条件⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥由可得是的中点，⊥又∩，综上得⊥平面解过点作⊥，垂足为，连接，如图所示由知，⊥平面，在平面内的射影是，则⊥因此是二面角的平面角由已知，可得设，可得，在中，⊥则在中，所以二面角的正弦值为规律方法求直线与平面所成的角的般步骤找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成计算，要把直线与平面所成的角转化到个三角形中求解作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在个半平面内找点作另个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角在正方体中，与平面所成角的余弦值为解析如图，连接交于，连接，由于∥，与平面所成的角就是与平面所成的角易知即为所求设正方体的棱长为，则，与平面所成角的余弦值为答案如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，二面角的平面角为，为的中点，为的中点证明∥平面证明平面⊥平面记，求实数的值，使得直线与平面所成的角为证明如图，取的中点，连接则，∥∥，四边形为平行四边形，∥⊄平面，⊂平面，∥平面证明⊥平面，⊥底面为矩形，⊥又∩，⊥平面，⊥，即为二面角的平面角，即，为等腰直角三角形，⊥⊥平面，⊥，又∩，⊥平面∥，⊥平面，又⊂平面，平面⊥平面解，设，则由知⊥平面，即为在平面内的射影，即为直线与平面所成的角，即在中，，而，在中，由得，解得，当时，直线与平面所成的角为考点七立体几何中的探索性问题北京卷如图，在中，分别为，的中点，点为线段上的点将沿折起到的位置，使⊥，如图求证∥平面求证⊥线段上是否存在点，使⊥平面说明理由证明因为，分别为，的中点，所以∥又因为⊄平面，⊂平面，所以∥平面证明由已知得⊥且∥，所以⊥所以⊥，⊥，又∩，所以⊥平面而⊂平面，所以⊥又因为⊥，所以⊥平面所以⊥解线段上存在点，使⊥平面理由如下如图，分别取，的中点则∥又因为∥，所以∥所以平面即为平面由知，⊥平面，所以⊥又因为是等腰底边的中点，所以⊥，又∩，所以⊥平面从而⊥平面故线段上存在点，使得⊥平面如图，在直角梯形中∥点为中点，将沿折起，使平面⊥平面，得到几何体，如图求证⊥在上找点，使∥平面证明在图中，可得，从而，⊥，平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，⊥平面，又⊂平面，⊥解取的中点，连接在中分别为，的中点，为的中位线，∥，又⊂平面，⊄平面，∥平面点线面的位置关系在四棱锥中，底面是边长为的菱形对角线与交于点，⊥平面，与平面所