列的通项公式令求数列的前项和解由已知，得，，解得设数列的公比为，由，可得，又，可知，即，解得或，即，所以已知数列的前项和为，且求数列的通项公式记，求解，所以，其中，记，两式相减得证明由，可得因为，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列解由知所以，整理得所以数列的前项和在数列中记，求证数列为等比数列求数列的前项和，则，两式相减得，∈由题意知，所以时，故，∈，所以∈，求数列的前项和解设等差数列的首项为，公差为由得，解得，因此考点三错位相减法求和山东卷设等差数列的前项和为，且，求数列的通项公式设数列的前项和为，且为常数，令，数列是首项，公差的等差数列证明，又当时，是公差为的等差数列又成等比数列，即，解得由知又列证明求数列的通项公式证明对切正整数，有，解当时，即所以，设各项均为正数的数列的前项和为，满足，∈，且构成等比数求证解又由，可得，所以，证明，，已知函数，数列是公差为的等差数列，若求数列的通项公式为的前项和，前项和解由得，由于是正项数列，则由知，故，，答案正项数列满足求数列的通项公式令，求数列的已知函数过，点，若数列的前项和为，则的值为解析由已知得已知函数过，点，若数列的前项和为，则的值为解析由已知得，答案正项数列满足求数列的通项公式令，求数列的前项和解由得，由于是正项数列，则由知，故，已知函数，数列是公差为的等差数列，若求数列的通项公式为的前项和，求证解又由，可得，所以，证明，，所以，设各项均为正数的数列的前项和为，满足，∈，且构成等比数列证明求数列的通项公式证明对切正整数，有，解当时，即，又当时，是公差为的等差数列又成等比数列，即，解得由知又，数列是首项，公差的等差数列证明考点三错位相减法求和山东卷设等差数列的前项和为，且，求数列的通项公式设数列的前项和为，且为常数，令∈，求数列的前项和解设等差数列的首项为，公差为由得，解得，因此，∈由题意知，所以时，故，∈，所以，则，两式相减得，整理得所以数列的前项和在数列中记，求证数列为等比数列求数列的前项和证明由，可得因为，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列解由知所以，所以，其中，记，两式相减得，即，所以已知数列的前项和为，且求数列的通项公式记，求解，当时即，≠∈即数列是以为首项，为公比的等比数列得，即设是公比大于的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列求数列的通项公式令求数列的前项和解由已知，得，，解得设数列的公比为，由，可得，又，可知，即，解得或由题意得，所以则故数列的通项为由于则，所以，两式相减得，即已知数列的首项，前项和为，且∈求数列的通项公式设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性解由∈，得，两式相减得，可得数列的前项和在数列中记，求证数列为等比数列求数列的前项和证明由，可得因为，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列解由知所以，所以，其中，记，两式相减得，即，所以已知数列的前项和为，且求数列的通项公式记，求解，当时即，≠∈即数列是以为首项，为公比的等比数列得，即设是公比大于的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列求数列的通项公式令求数列的前项和解由已知，得，，解得设数列的公比为，由，可得，又，可知，即，解得或由题意得，所以则故数列的通项为由于则，所以，两式相减得，即已知数列的首项，前项和为，且∈求数列的通项公式设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性解由∈，得，两式相减得，可得，又由已知得，所以，即是个首项为，公比的等比数列，所以∈因为，所以，令，则，作差得，所以，即而，所以，所以是单调递增数列求数列的前项和问题在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列求若，求规范解答由题意得，分即故或分所以，∈或，∈，分设数列的前项和为因为，由得分当时，分当时，分综上所述，，分已知等差数列前三项的和为，前三项的积为求等差数列的通项公式若成等比数列，求数列的前项和解设等差数列的公差为，则由题意，得，解得，或，所以由等差数列的通项公式，可得或故或由，知当时，分别为，不成等比数列当时，分别为，成等比数列，满足条件故记数列的前项和为当时当时当时，当时，满足此式综上，考点公式法在等比数列中，若则公比解析设等比数列的公比为，则，代入数据解得，所以等比数列的公比为，则，所以答案在数列中，记为的前项和，则解析由，可得该数列是周期为的数列，所以答案等比数列的前项和，则解析当时当时又适合上式，数列是以为首项，以为公比的等比数列答案已知函数，且，则解析若为偶数，则，为首项为，公差为的等差数列若为奇数，则，为首项为，公差为的等差数列所以答案倒序相加法设，利用倒序相加法，可求得的值为解析当时，设，倒序相加有，即答案构造法设数列的前项和为，满足，∈，且成等差数列求的值求数列的通项公式解在中令得令得解得又，即，解得由得又，也满足，对∈成立数列以为首项，公比为的等比数列，考点与的关系已知在等比数列中且是和的等差中项求数列的通项公式若数列满足∈，求的通项公式解由题意，得，即，整理得又≠，解得，当时当时即，，考点分组转化法求和已知数列的通项公式是，求其前项和解，所以当为偶数时，当为奇数时综上所述，，为偶数为奇数在等比数列中，已知，公比≠，等差数列满足求数列与的通项公式记，求数列的前项和解设等比数列的公比为，等差数列的公差为由已知，得，故，⇒，⇒或舍去所以，所以，由题意，得，当为偶数时当为奇数时，所以，为偶数为奇数若数列的通项公式为，则数列的前项和为解析答案数列的前项和为，已知，则解析答案已知等比数列满足，且是，的等差中项求数列的通项公式若求使成立的的最小值解设等比数列的公比为，依题意，有，，即，，由得，解得或当时，不合题意，舍去当时，代入得，所以故所求数列的通项公式∈所以因为，解得或因为∈，故使成立的正整数的最小值为已知在正项等比数列中，则解析由，解得，又令，解得的最小值为答案考点二裂项相消法求和正项数列的前项和满足求数列的通项公式令，数列的前项和为，证明对于任意的∈，都有解由，得由于是正项数列，所以，于是，当时，综上，数列的通项证明由于，，则滨州模已知数列的前项和是，且∈求数列的通项公式设∈，令，求解当时由，得，当时，则，即，所以故数列是以为首项，为公比的等比数列故∈因为所以，因为，所以