TOP36贵州省凯里市第一中学2016届高三数学一轮总复习专题十立体几何（含解析）.doc文档免费在线阅读

证明如图，取为的中点，连接，则有，，所以四边形为平行四边形所以∥又，所以⊥故⊥难点立体几何中的探索问题立体几何中的探索性问题的主要类型有探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么方法综合法方法二空间向量法典例如图，在三棱锥中为的中点，平面，垂足落在线段上已知，Ⅰ证明Ⅱ在线段上是否存在点，使得二面，令，则，，由可知，为平面的个法向量。

于是，，，，又所以平面解设平面的个法向量为，由所以异面直线与所成角的余弦值为证明已知，，于是，因此，解易得，于是，中，在中所以所以二面角的正弦值为向量法如图所示，建立空间直角坐标系，设，依题意得平面角易知，所以，又所以，在中在中，连结在以，因为，所以平面连接由可知⊥平面，又平面，平面，所以，，故为二面角的，又由于，所以，故，又因为且，所以⊥平面，从而连接，同理可证⊥平面，从而，所，所以异面直线与所成角的余弦值为证明连接，设与交点，因为，所以，从而得如图，连结设与交于点，易知∥，由，可知故是异面直线与所成的角，易知，所以的正弦值。

解析本小题主要考查异面直线所成的角直线与平面垂直二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力运算能力和推理论证能力，满分分。

综合法设，可度角度如图，在长方体中，分别是棱上的点，，求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角则，若为钝角，则，高考常考角二面角的大小综合法通过线面关系找出二面角的平面角，再通过解三角形求解向量法求出二面角的两个半平面的法向量，，设二面角大小为，若为锐角，直线与平面所成的角综合法通过垂线找射影及角，再通过解三角形求解向量法求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面所成的角为，则，异面直线所成的角综合法将异面直线平移到个平面，通过解三角形求解向量法若异面直线，的方向向量分别为，，设异面直线所成的角为，则，为矩形，其对角线交点为的中点，且，所以为满足条件的点重点空间角的求解角的范围异面直线所成的角的范围是直线与平面所成的角的范围是二面角的范围是，角的求解为矩形，其对角线交点为的中点，且，所以为满足条件的点重点空间角的求解角的范围异面直线所成的角的范围是直线与平面所成的角的范围是二面角的范围是，角的求解异面直线所成的角综合法将异面直线平移到个平面，通过解三角形求解向量法若异面直线，的方向向量分别为，，设异面直线所成的角为，则，直线与平面所成的角综合法通过垂线找射影及角，再通过解三角形求解向量法求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面所成的角为，则，二面角的大小综合法通过线面关系找出二面角的平面角，再通过解三角形求解向量法求出二面角的两个半平面的法向量，，设二面角大小为，若为锐角，则，若为钝角，则，高考常考角度角度如图，在长方体中，分别是棱上的点，，求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正弦值。

解析本小题主要考查异面直线所成的角直线与平面垂直二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力运算能力和推理论证能力，满分分。

综合法设，可得如图，连结设与交于点，易知∥，由，可知故是异面直线与所成的角，易知，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为证明连接，设与交点，因为，所以，从而，又由于，所以，故，又因为且，所以⊥平面，从而连接，同理可证⊥平面，从而，所以，因为，所以平面连接由可知⊥平面，又平面，平面，所以，，故为二面角的平面角易知，所以，又所以，在中在中，连结在中，在中所以所以二面角的正弦值为向量法如图所示，建立空间直角坐标系，设，依题意得，解易得，于是，所以异面直线与所成角的余弦值为证明已知，，于是，因此，，，又所以平面解设平面的个法向量为，由，令，则，，由可知，为平面的个法向量。

于是，，从而，所以二面角的正弦值为角度如图，四棱锥中，侧面为等边三角形Ⅰ证明平面Ⅱ求与平面所成角的大小综合法解析Ⅰ方法计算，于是，利用勾股定理，可知同理，可证又因此，平面方法二取的中点，连接，则四边形为矩形，连接，则，又，故，所以，即由，得平面，所以又所以平面Ⅱ由平面知，平面⊥平面作，垂足为，则⊥平面，作⊥，垂足为，则连接，则⊥又⊥，∩，故⊥平面，平面⊥平面作⊥，为垂足，则⊥平面，即到平面的距离为由于∥，所以∥平面，到平面的距离也为设与平面所成的角为，则点评求与平面所成角，如果要找出在平面上的射影，有点难。

向量法解析方法取中点为，连结则，故平面，，平面平面，交线为过作，则平面，作交于建立如图所示空间直角坐标系，所以⊥平面又则，题，球与多面体的组合，通过多面体的条侧棱和球心切点或接点作出截面图典例四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同个球面上，则该球的体积为解析如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线上找到个点使得，则四棱锥的五个顶点就在同个球面上在中，故设球的半径为，则，中，，，即点即为球心，故这个球的体积典例如图所示，在等腰梯形中，为的中点，将与分别沿向上折起，使重合，求形成的三棱锥的外接球的体积解析平面图形中，，所以折叠后得到个正四面体方法如图，作平面，垂足为三棱锥是正四面体，即为的中心，且外接球的球心在线段上取的中点，连接，过球心作上平面，则垂足为的外心又为等边三角形，点在线段上，且外接球半径可利用求得故外接球体积为方法二如图所示，把正四面体放在正方体中，显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球，正四面体的棱长为，正方体的棱长为，故外接球直径，所以外接球体积为难点平面图形翻折问题的求解将平面图形沿其中条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键，般地，翻折后还在同个平面上的性质不发生变化，不在同个平面上的性质可能会发生变化，解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法典例如图，在中，为边上动点，交于点，现将沿翻折至使平面平面当棱锥的体积最大时，求的长若点为的中点，为的中点，求证点评本题考查的空间里的翻折问题，考查空间思维能力，考查空间几何体的体积计算考查空间直线的位置关系的证明，考查函数与方程的思想考查数学应用意识等。

解析设，，为等腰直角三角形，令，，则，的变化如下表↗极大值↘由上表易知当时，有取最大值。

证明如图，取为的中点，连接，则有，，所以四边形为平行四边形所以∥又，所以⊥故⊥难点立体几何中的探索问题立体几何中的探索性问题的主要类型有探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么方法综合法方法二空间向量法典例如图，在三棱锥中为的中点，平面，垂足落在线段上已知，Ⅰ证明Ⅱ在线段上是否存在点，使得二面角为直二面角若存在，求出的长若不存在，请说明理由解析综合法Ⅰ由，是的中点，得⊥由⊥平面，得⊥因为，所以⊥平面，故⊥Ⅱ如图，在平面内作⊥与于，连接由Ⅰ知⊥，因为，故⊥平面又平面，所以平面⊥平面在中，在中，在中，在中，又，从而，综上所述，存在点符合题意，向量法Ⅰ证明如图，以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系则，，由此可得，所以，即Ⅱ假设存在符合题意的点，设则，设平面的法