圆锥曲线中的探索问题典例已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，Ⅰ求实数的取值范围Ⅱ是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点若存在，求出的值若不存在，说明理由解Ⅰ由得依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点，故解得，Ⅱ设则由可得，假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点则中点为则，因为是等腰的底边，所以所以的斜率解得，此时方程为的面积。解析Ⅰ由已知得，解得又所以椭圆的方程为Ⅱ设直线的方程为由得设的坐标分别为，标的关系式，最后求解典例已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点为，。Ⅰ求椭圆的方程Ⅱ求，而后消二次项对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，其解题步骤为设点设出弦的两端点坐标代入代入圆锥曲线方程作差两式相减，再用平方差公式把式子展开整理转化为斜率与中点坐化为元次方程，结合元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解中点转移法，先得出个端点的坐标，再借助于中点坐标公式得出另个端点的坐标，，形式复杂，增加运算难度所以线段的长度是难点中点弦问题的处理解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种通过方程组转得，则，，直线被所截线段的长度为点评如果直接解方程，，且，在圆上，，整理得，即的方程是Ⅱ过点，且斜率为的直线方程是，设此直线与的交点为由方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系结合两点的距离公式计算解析Ⅰ设点的坐标是的坐标是因为点是在轴上投影，为上点，且，所以点的轨迹的方程Ⅱ求过点，且斜率为的直线被所截线段的长度点评Ⅰ动点通过点与已知圆相联系，所以把点的坐标用点的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可Ⅱ直线方程和椭圆方程组成难点直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式典例如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为上点，且Ⅰ当在圆上运动时，求，又由抛物线定义得，为等边三角形，令与轴的交点为，则，在中，，故选突破个高考难点么解析方法抛物线的焦点直线的方程为，所以得点，从而，故选方法二如图轴，又，断的关键解析由题意可知，抛物线的方程为，由准线方程得，所以故选角度设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上点，，为垂足如果直线的斜率为，那，故线段的中点到轴的距离为故选角度设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是点评由准线确定抛物线的位置和开口方向是判是抛物线的焦点是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为解析设由抛物线定义，得为弦的倾斜角，④以弦为直径的圆与抛物线的准线相切直线的方程为不存在时弦为通径高考常考角度角度已知是为弦的倾斜角，④以弦为直径的圆与抛物线的准线相切直线的方程为不存在时弦为通径高考常考角度角度已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为解析设由抛物线定义，得，故线段的中点到轴的距离为故选角度设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是点评由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键解析由题意可知，抛物线的方程为，由准线方程得，所以故选角度设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上点，，为垂足如果直线的斜率为，那么解析方法抛物线的焦点直线的方程为，所以得点，从而，故选方法二如图轴，又，，又由抛物线定义得，为等边三角形，令与轴的交点为，则，在中，，故选突破个高考难点难点直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式典例如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为上点，且Ⅰ当在圆上运动时，求点的轨迹的方程Ⅱ求过点，且斜率为的直线被所截线段的长度点评Ⅰ动点通过点与已知圆相联系，所以把点的坐标用点的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可Ⅱ直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系结合两点的距离公式计算解析Ⅰ设点的坐标是的坐标是因为点是在轴上投影，为上点，且，所以，且，在圆上，，整理得，即的方程是Ⅱ过点，且斜率为的直线方程是，设此直线与的交点为由得，则，，直线被所截线段的长度为点评如果直接解方程，，，形式复杂，增加运算难度所以线段的长度是难点中点弦问题的处理解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种通过方程组转化为元次方程，结合元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解中点转移法，先得出个端点的坐标，再借助于中点坐标公式得出另个端点的坐标，而后消二次项对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，其解题步骤为设点设出弦的两端点坐标代入代入圆锥曲线方程作差两式相减，再用平方差公式把式子展开整理转化为斜率与中点坐标的关系式，最后求解典例已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点为，。Ⅰ求椭圆的方程Ⅱ求的面积。解析Ⅰ由已知得，解得又所以椭圆的方程为Ⅱ设直线的方程为由得设的坐标分别为，中点为则，因为是等腰的底边，所以所以的斜率解得，此时方程为解得，所以，所以此时，点，到直线的距离，所以难点圆锥曲线中的分点弦典例已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则解析设为椭圆的右准线，为离心率，过，分别作，垂直于为垂足，过作于，由椭圆的第二定义得，由，令，则，，，即，故选难点圆锥曲线上点的对称问题典例已知椭圆，在椭圆上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由解析方法方程组法设椭圆上存在两点关于直线对称，由题意，设由，设的中点为则，，，，又点，在直线上，代入解得为所求方法二点差法设椭圆上存在两点，关于直线对称，的中点为则，又，又点，在直线上，解得，在椭圆内，为所求难点求轨迹曲线方程典例已知双曲线的左右焦点分别为，即，即，解得，，且满足当时，有，直线过定点与已知矛盾当时，有，直线过定点，综上可知，直线过定点，定点坐标为，难点圆锥曲线中的定值问题典例已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与，共线Ⅰ求椭圆的离心率Ⅱ设为椭圆上任意点，且，证明为定值解析Ⅰ设椭圆方程为，则右焦点为直线的方程为，由整理得，设则，由，共线，得，，Ⅱ由Ⅰ可知，故椭圆可化为，设，由，在椭圆上，，即由Ⅰ知，又，，代入得难点圆锥曲线中的最值问题和范围问题典例设分别是椭圆的左右焦点Ⅰ若是该椭圆上的个动点，求的最大值和最小值Ⅱ设过定点，的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角其中为坐标原点，求直线的斜率的取值范围解析Ⅰ方法由已知得，所以，，设则因为，，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值方法二由已知得，所以，，设则以下同方法Ⅱ显然直线不满足题设条件，可设直线，由，消去，整理得由得或又，又，即综合得或故直线的斜率的取值范围为难点圆锥曲线中的探索问题典例已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，Ⅰ求实数的取值范围Ⅱ是否存在实