线的形状由确定，越小，曲线越尖陡，表示总体的分布越集中越大，曲线越扁平，表示总体的分布越分散典例设两个正态分布，和，的密度函数图象如图所示，则有，，，，解析正态分布，的密度函数的图象是条关于直线对称，在处取得最大值的连续钟形曲线，越犬，曲线的最高点越低且较平缓越小，曲线的最高点越高且较陡峭故选点评本题考查的就是正态分布的均值和方差的意义，理解均值和方差的意义，特别是方差的意义才能作出正确的判断，方差越小，整体分布就越向均值集中，表现在正态密度曲线上就是曲线越尖陡典例年中国汽车销售量达到万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，汽车制造公司为调查种型号的汽车的耗油的长度的长度设平面区域是平面区域的部分，向区域上任投点，此点落在区域上的概率为的面积的面积设空间区域是空间区域的部分，向区域上任投点，此点落在区域上的概率根据等可能性，其中个点落在区域上的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关几种常见的几何概型概率的求法设线段是线段的部分，向线段上任投点，此点落在线段上的概率为古典概型最为接近的种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数前者是无限的基本事件可以抽象为点，后者是有限的对于几何概型而言，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，典概型求解概率问题的思路是相同的，同属于比例解法即随机事件的概率可以用事件包含的基本事件所占的图形面积体积长度与试验的基本事件所占的总面积总体积总长度之比来表示几何概型是与，就可以产生之间的均匀随机数几何概型的两个特点是无限性，即在次试验中，基本事件的个数可以是无限的二是等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几何概型和用古概率，般地，利用计算机或计算器的函数可以产生之间的均匀随机数之间的均匀随机数的产生利用计算机或计算器产生之间的均匀随机数，然后利用伸缩和平移变换域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积均匀随机数在定范围内随机产生的数，其中每个数产生的机会是样的，通过模拟些试验，可以代替我们做大量的重复试验，从而求得几何概型的学校的概率为重点几何概型几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型几何概型的概率公式构成事件的区，共种，从中选出两名教师来自同学校的结果有共种，选出的两名教师来自同共种，选出的两名教师性别相同的概率为Ⅱ从甲校和乙校报名的教师中任选名的所有可能的结果为中各任选名的所有可能的结果为，共种，从中选出的两名教师性别相同的结果有，报名的名教师中任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师来自同学校的概率解析Ⅰ甲校两男教师分别用表示，女教师用表示乙校男教师用表示，两女教师分别用表示从甲校和乙校报名的教师而基本事件的总数就是在条抛物线中选取两条角度甲乙两校各有名教师报名支教，其中甲校男女，乙校男女Ⅰ若从甲校和乙校报名的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率Ⅱ若从本题中所有的抛物线共条，这些抛物线在处的斜率可以是，按照这个斜率对条抛物线进行分类，每类中取出的两条抛物线在与直线交点处的切线斜率是相等的，随机事件的总数就是所有这些取法之和有两种情形从中取出两条，有种取法若，只有种情形不合题意由分类加法计数原理知任取两条抛物线且满足题目要求的情形共有故所求概率为，故选，有三种情形，从中取出两条，有种取法若，有四种情形从中取出两条，有种取法若，有三种情形，从中取出两条，有种取法若抽取两条，共有种不同的方法它们在与直线交点处的切线的斜率若，只有种情形不合题意若，有两种情形，从中取出两条，有种取法若抽取两条，共有种不同的方法它们在与直线交点处的切线的斜率若，只有种情形不合题意若，有两种情形，从中取出两条，有种取法若，有三种情形，从中取出两条，有种取法若，有四种情形从中取出两条，有种取法若，有三种情形，从中取出两条，有种取法若，有两种情形从中取出两条，有种取法若，只有种情形不合题意由分类加法计数原理知任取两条抛物线且满足题目要求的情形共有故所求概率为，故选本题中所有的抛物线共条，这些抛物线在处的斜率可以是，按照这个斜率对条抛物线进行分类，每类中取出的两条抛物线在与直线交点处的切线斜率是相等的，随机事件的总数就是所有这些取法之和，而基本事件的总数就是在条抛物线中选取两条角度甲乙两校各有名教师报名支教，其中甲校男女，乙校男女Ⅰ若从甲校和乙校报名的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率Ⅱ若从报名的名教师中任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师来自同学校的概率解析Ⅰ甲校两男教师分别用表示，女教师用表示乙校男教师用表示，两女教师分别用表示从甲校和乙校报名的教师中各任选名的所有可能的结果为，共种，从中选出的两名教师性别相同的结果有，共种，选出的两名教师性别相同的概率为Ⅱ从甲校和乙校报名的教师中任选名的所有可能的结果为，共种，从中选出两名教师来自同学校的结果有共种，选出的两名教师来自同学校的概率为重点几何概型几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型几何概型的概率公式构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积均匀随机数在定范围内随机产生的数，其中每个数产生的机会是样的，通过模拟些试验，可以代替我们做大量的重复试验，从而求得几何概型的概率，般地，利用计算机或计算器的函数可以产生之间的均匀随机数之间的均匀随机数的产生利用计算机或计算器产生之间的均匀随机数，然后利用伸缩和平移变换，就可以产生之间的均匀随机数几何概型的两个特点是无限性，即在次试验中，基本事件的个数可以是无限的二是等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几何概型和用古典概型求解概率问题的思路是相同的，同属于比例解法即随机事件的概率可以用事件包含的基本事件所占的图形面积体积长度与试验的基本事件所占的总面积总体积总长度之比来表示几何概型是与古典概型最为接近的种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数前者是无限的基本事件可以抽象为点，后者是有限的对于几何概型而言，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，其中个点落在区域上的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关几种常见的几何概型概率的求法设线段是线段的部分，向线段上任投点，此点落在线段上的概率为的长度的长度设平面区域是平面区域的部分，向区域上任投点，此点落在区域上的概率为的面积的面积设空间区域是空间区域的部分，向区域上任投点，此点落在区域上的概率为的体积的体积化解几何概型问题要从以下三方面做起明确几何概型的意义几何概型是基本事件个数有无限个，每个基本事件发生的可能性相等的个概率模型，这个概率模型的显著特点是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例记住几何概型的计算公式几何概型的计算就是找随机事件所占有的几何度量值和整个基本事件所占有的几何度量值的比值即如果整个基本事件占有的几何度量值为，随机事件所占有的几何度量值为，则事件发生的概率掌握转化策略很多几何概型往往要通过定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时要善于根据问题的具体情况进行转化，如把从两个区间内取出的实数看作坐标平面上的点的坐标，将问题转化为平面上的区域问题等，这种转化策略是化解几何概型试题难点的关键高考常考角度角度已知菱形的边长为则该菱形内的点到菱形的顶点，的距离均不小于的概率是解析本题考查几何概型的意义以及几何概型概率的求解如图所示，只有当点位于菱形内的空白区域时，其到，的距离才均不小于，菱形的面积为两个阴影部分的扇形面积之和恰好是个半径为的半圆，其面积为，故空白区域的面积为，所求的概率是，故选点评经分析可知本题中以点为圆心的扇形，其圆弧恰好与菱形的边，相切几何概型所依据的知识背景极为广阔，面对不同的试题要认真进行分析角度已知关于的元二次函数，其中实数，满足，则函数在区间，上是增函数的概率是解析本题结合不等式组所表示的平面区域考查几何概型概率的求解，函数在，上单调递增的充要条件是，即作出平面区域如图所示问题等价于向区域中任意掷点，点落在区域点的坐标是，中的概率，这个概率值是得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数重根按个计求方程有实根的概率求的分布列和数学期望求在先后两次出现的点数中有的条件下，方程有实根的概率解析基本事件的总数为个若使方程有实根，则当时，当时当时，当时，当时当时目标事件的个数为，因此方程有实根的概率为由题意知，则故的分布列为记先后两次出现的点数中有为事件，方程有实根为事件则具体算法事件的情况有，共个，其中有实根的情况是后面个条件概率在事件发生的条件下，事件发生的概率，其中表示与同时发生的概率典例大学开设甲乙丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响已知学生只选修甲的概