23高中数学1.1.2余弦定理教案新人教B版必修5文档

把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理二是把边的关系转化为角的关系，般是通过正弦定理另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形证法化为三角函数所以原式得证证法二化为边的等式左边利用两点间距离公式先求出三边，然后利用余弦定理求出可由学生自己解决，教师给予适当的指导解根据两点间距离公式，得，，在，例如图，的顶点为，和求精确到活动本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的，点拨学生时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定变式训练在中，已知，求和精确到解舍去因此设边上的高为，则所以的面积点评在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异当所求的角是钝角深刻理解两个定理的内涵解由余弦定理，得，因此，再由正弦定理，得，因此或不合题意余弦定理实际教学时可让学生自己探求解题思路，比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角，或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角，这些教师都要给予鼓励，然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣，从而求此三角形各个角的大小及其面积精确到活动本例中已知三角形三边，可利用余弦定理先求出最大边所对的角，然后利用正弦定理再求出另角，进而求得第三角教材中这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和中，已知，求活动本例是利用余弦定理解决的第二类问题，可让学生完成解由余弦定理，得，因此例如图，在中，已知，表达形式是利用余弦定理可解决两类解三角形问题类是已知三角形三边，另类是已知三角形两边及其夹角应用示例例如图，在较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧讨论结果见活动余弦定理的另种的个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢教师与学生起探究得到若用余弦定理的另种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现如果已知的是三角形的三边和个角的情况，而求另两角中下两类有关解三角形的问题已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯解已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯确定，故解唯不会产生利用正对的角是直角如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广应用余弦定理，可以解决以则，这时余弦定理变为由此可知，余弦定理是勾股定理的推广勾股定理是余弦定理的特例另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所教师引导学生进步观察分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系学生容易看出，若中，都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另种形式都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另种形式教师引导学生进步观察分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系学生容易看出，若中，则，这时余弦定理变为由此可知，余弦定理是勾股定理的推广勾股定理是余弦定理的特例另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯解已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯确定，故解唯不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现如果已知的是三角形的三边和个角的情况，而求另两角中的个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢教师与学生起探究得到若用余弦定理的另种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧讨论结果见活动余弦定理的另种表达形式是利用余弦定理可解决两类解三角形问题类是已知三角形三边，另类是已知三角形两边及其夹角应用示例例如图，在中，已知，求活动本例是利用余弦定理解决的第二类问题，可让学生完成解由余弦定理，得，因此例如图，在中，已知，求此三角形各个角的大小及其面积精确到活动本例中已知三角形三边，可利用余弦定理先求出最大边所对的角，然后利用正弦定理再求出另角，进而求得第三角教材中这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理实际教学时可让学生自己探求解题思路，比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角，或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角，这些教师都要给予鼓励，然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣，从而深刻理解两个定理的内涵解由余弦定理，得，因此，再由正弦定理，得，因此或不合题意，舍去因此设边上的高为，则所以的面积点评在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定变式训练在中，已知，求和精确到解例如图，的顶点为，和求精确到活动本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的，点拨学生利用两点间距离公式先求出三边，然后利用余弦定理求出可由学生自己解决，教师给予适当的指导解根据两点间距离公式，得，，在中，由余弦定理，得，因此点评三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数值变式训练用向量的数量积运算重做本例解如例题图因此例在中，已知，求及活动根据已知条件可以先由正弦定理求出角，再结合三角形内角和定理求出角，再利用正弦定理求出边，而三角形面积由公式可以求出若用余弦定理求，可利用余弦定理建立关于的方程，亦能达到求的目的解法由正弦定理，得，由，得或解法二由余弦定理，得，整理，得，解之，得，或点评在解法的思路里，应注意用正弦定理应有两种结果，避免遗漏而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立，故例在中，求证活动此题所证结论包含关于的边角关系，证明时可以考虑两种途径是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理二是把边的关系转化为角的关系，般是通过正弦定理另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形证法化为三角函数所以原式得证证法二化为边的等式左边点评由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式，正弦两角和公式由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二变式训练在中，求证证明根据正弦定理，可设，显然≠，所以左边右边根据余弦定理，得右边左边知能训练已知的三个内角所对的三边分别为若的面积，则等于在中，角的对边分别为，且满足求角的度数若且，求的值答案解析由余弦定理及面积公式，得，解由题意，知由余弦定理，知，又，解联立的方程组，得，或，课堂小结教师与学生起回顾本节课我们共同探究的解三角形问题，特别是已知两边及其边的对角时解的情况，通过例题及变式训练，掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题学到了具体问题具体分析的良好思维习惯教师进步点出，解三角形问题是确定线段的长度和角度的大小，解三角形需要利用边角关系，三角形中，有六个元素三条边三个角解三角形通常是给出三个的条件元素，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，两个条件元素就够了正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，正弦定理适用于已知两角边，求其他要素余弦定理适用于已知两边和夹角，或者已知三边求其他要素作业课本本节习题组补充作业在中，若，试判断的形状在中，分别是角的对边是方程的两个实数根，的面积为，求的三边长解答由，得，由正弦定理，得，即或，即为等腰三角形或直角三角形由韦达定理，得，则原方程变为，解得两根为又，故，由余弦定理，得所求三角形的三边长分别为设计感想本教案设计的思路是通过些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法，具体解三角形时，所选例题突出了函数与方程的思想，