的定义域关于原点对称对于定义域内的任意个与的关系都有都有函数为偶函数结论函数为奇函数图像特征关于原点对称关于轴对称奇函数偶函数的概念及图象特征考点•分类整合结束放映返回导航页周期函数为函数的个周期，则需满足的条件对定义域内的任意都成立最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期周期不唯若是函数的个周期，则，且也是的周期，即函数的周期性结束放映返回导航页判断函数奇偶性的两个方法考点•分类整合定义法图象法结束放映返回导航页周期性三个常用的结论对定义域内任自变量的值若，则若，则若，则结束放映返回导航页例•湖北卷为实数，表示不超过的最大整数，则函数，所以为奇函数结束放映返回导航页解析函数的定义域为当时是偶函数当时，从而答案结束放映返回导航页变式练已知是定义在上的奇函数，当时解析的定义域为，航页变式练已知函数，若，则的值为解析设，显然为奇函数，又平方得，所以，解得，即不等式的解集为答案结束放映返回导是定义在上的偶函数且在，上递增，不等式的解集为解析因为是定义在上的偶函数且在，上递增，所以等价于所以，即中，用替换，得，于是解得，于是，故结束放映返回导航页同类练同类练已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是解析在，得，即答案,结束放映返回导航页由于，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以因此得，单调递减，若，则的取值范围是解析是偶函数，图象关于轴对称又，且在，单调递减，则的大致图象如图所示，由，即结束放映返回导航页•全国卷Ⅱ已知偶函数在南卷已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则考向分层突破三函数奇偶性的应用解析，是偶函数当时，，且，是非奇非偶函数结束放映返回导航页例•湖义域为所以为奇函数结束放映返回导航页解析函数的定义域为当时解析函数的定义域为，不关于坐标原点对称，函数既不是奇函数，也不是偶函数结束放映返回导航页解析的定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断归纳升华结束放映返回导航页跟踪训练判断下列函数的奇偶性偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的是否有或成立，必要时，可对上式作变形处理分段函数奇偶性的判断，要注意定当时则当时故，故原函数是偶函数结束放映返回导航页判断函数的奇偶当时则当时故，故原函数是偶函数结束放映返回导航页判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的是否有或成立，必要时，可对上式作变形处理分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断归纳升华结束放映返回导航页跟踪训练判断下列函数的奇偶性解析函数的定义域为，不关于坐标原点对称，函数既不是奇函数，也不是偶函数结束放映返回导航页解析的定义域为所以为奇函数结束放映返回导航页解析函数的定义域为当时是偶函数当时，，且，是非奇非偶函数结束放映返回导航页例•湖南卷已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则考向分层突破三函数奇偶性的应用解析即结束放映返回导航页•全国卷Ⅱ已知偶函数在，单调递减，若，则的取值范围是解析是偶函数，图象关于轴对称又，且在，单调递减，则的大致图象如图所示，由，得，即答案,结束放映返回导航页由于，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以因此得同类练已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是解析在中，用替换，得，于是解得，于是，故结束放映返回导航页同类练是定义在上的偶函数且在，上递增，不等式的解集为解析因为是定义在上的偶函数且在，上递增，所以等价于所以，即，平方得，所以，解得，即不等式的解集为答案结束放映返回导航页变式练已知函数，若，则的值为解析设，显然为奇函数，又从而答案结束放映返回导航页变式练已知是定义在上的奇函数，当时解析的定义域为所以为奇函数结束放映返回导航页解析函数的定义域为当时是偶函数当时，，且，是非奇非偶函数结束放映返回导航页例•湖南卷已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则考向分层突破三函数奇偶性的应用解析即结束放映返回导航页•全国卷Ⅱ已知偶函数在，单调递减，若，则的取值范围是解析是偶函数，图象关于轴对称又，且在，单调递减，则的大致图象如图所示，由，得，即答案,结束放映返回导航页由于，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以因此得同类练已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是解析在中，用替换，得，于是解得，于是，故结束放映返回导航页同类练是定义在上的偶函数且在，上递增，不等式的解集为解析因为是定义在上的偶函数且在，上递增，所以等价于所以，即，平方得，所以，解得，即不等式的解集为答案结束放映返回导航页变式练已知函数，若，则的值为解析设，显然为奇函数，又从而答案结束放映返回导航页变式练已知是定义在上的奇函数，当时若，则实数的取值范围是，，，，解析是奇函数，当，得，解得答案结束放映返回导航页解析为奇函数答案拓展练•广东湛江调研设函数为奇函数，则结束放映返回导航页拓展练若为奇函数，且在，上是减函数，又，则•由•结束放映返回导航页拓展练已知定义在上的奇函数满足，且在区间,上是增函数若方程在区间,上有四个不同的根则解析为奇函数并且，即，且，即的图象关于对称，并且是周期为的周期函数在,上是增函数，在,上是增函数，在,上为减函数，据此可画出的图象其图象也关于对称，答案结束放映返回导航页归纳升华奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反函数奇偶性的应用已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于的方程，从而可得的解析式已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值结束放映返回导航页温馨提示请点击相关栏目。整知识萃取知识精华整方法启迪发散思维考向分层突破考向分层突破二考向分层突破三奇函数偶函数定义定义域函数的定义域关于原点对称对于定义域内的任意个与的关系都有都有函数为偶函数结论函数为奇函数图像特征关于原点对称关于轴对称奇函数偶函数的概念及图象特征考点•分类整合结束放映返回导航页周期函数为函数的个周期，则需满足的条件对定义域内的任意都成立最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期周期不唯若是函数的个周期，则，且也是的周期，即函数的周期性结束放映返回导航页判断函数奇偶性的两个方法考点•分类整合定义法图象法结束放映返回导航页周期性三个常用的结论对定义域内任自变量的值若，则若，则若，则结束放映返回导航页例•湖北卷为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为奇函数偶函数增函数周期函数考向分层突破函数的周期性解析函数在上的图象如下图答案结束放映返回导航页解析由，可知函数的最小正周期，答案已知是定义在实数集上的奇函数，对任意的实数当,时则又由于该函数是奇函数，故结束放映返回导航页解析是以为周期的奇函数，当时当时又是奇函数，•安徽卷若函数是周期为的奇函数，且在,上的解析式为则,结束放映返回导航页判断函数的周期只需证明便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论若是函数的周期，则且也是函数的周期归纳升华结束放映返回导航页考向分层突破二函数奇偶性的判定例判断下列函数的奇偶性解析由得，的定义域为,又即既是奇函数又是偶函数结束放映返回导航页解析函数的定义域为，，关于原点对称，是奇函数结束放映返回导航页故的定义域为,关于原点对称，且有从而有这时有故为奇函数解由得且结束放映返回导航页解析易知函数的定义域为，，关于原点对称，又当时则当时故当时则当时故，故原函数是偶函数结束放映返回导航页判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的是否有或成立，必要时，可对上式作变形处理分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断归纳升华结束放映返回导航页跟踪训练判断下列函数的奇偶性解析函数的定义域为，不关于坐标原点对称，函数既不是奇函数，也不是偶函数结束放映返回导航页解析的定义域为所以为奇函数结束放映返回导航页解析函数的定义域为当时偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的是否有或成立，必要时，可对上式作变形处理分段函数奇偶性的判断，要注意定解析函数的定义域为，不关于坐标原点对称，函数既不是奇函数，也不是偶函数结束放映返回导航页解析的定是偶函数当时，，且，是非奇非偶函数结束放映返回导航页例•湖，即结束放映返回导航页•全国卷Ⅱ已知偶函数在，得，即答案,结束放映返回导航页由于，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以因此得中，用替换，得，于是解得，于是，故结束放映返回导航页同类练，平方得，所以，解得，即不等式的解集为答案结束放映返回导，从而答案结束放映返回导航页变式练已知是定义在上的奇函数，当时解析的定义域为，的定义域关于原点对称对于定义域内的任意个与的关系都有都有函数为偶函数结论函数为奇函数图像特征关于原点对称关于轴对称奇函数偶函数的概念及图象特征考点•分类整合结束放映返回导航页周期函数为函数的个周期，则需满足的条件对定义域内的任意都成立最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期周期不唯若是函数的个周期，则，且也是的周期，即函数的周期性结束放映返回导航页判断函数奇偶性的两个方法考点•分类整合定义法图象法结束放映返回导航页周期性三个常用的结论对定义域内任自变量的值若，则若，则若，则结束放映返回导航页例•湖北卷为实数，表示不超过的最大整数，则函数