则运用两向量的数量积可解决长度夹角垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解结束放映返回导航页例•重庆卷已知向量且⊥，则实数考向分层突破二平面向量数量积的性质解析因为所以，因为⊥，所以•，•解得故选结束放映返回导航页因为，所以•，则已知平面向量，的夹角为，且在中，为中点，则等于结束放映返回导航页答案，••，•江西卷已知单位向量与的夹角为，且•新课标全国Ⅱ设向量，满足则•解析由得•，•，两式相减，得•，•答案结,答案结束放映返回导航页答案变式练•山东卷已知向量，若向量，的夹角为，则实数结束放映返回导航页变式练，同类练已知向量如果向量与垂直，那么的值为⊥•,解得解析⊥⇒••故故所求夹角为答案结束放映返回导航页解析,向量与的夹角为，则结束放映返回导航页同类练•武汉调研已知向量满足且⊥，则与的夹角为变式练•新课标全国Ⅱ设向量，满足则•解析由得•，•，两式相减向量与的夹角为，且,答案结束放映返回导航页答案变式练•山东卷已知向量，若向量，的夹角为，则实数结束放映返回导航页，同类练已知向量如果向量与垂直，那么的值为⊥•,解得解析⊥⇒••故故所求夹角为答案结束放映返回导航页解析且，向量与的夹角为，则结束放映返回导航页同类练•武汉调研已知向量满足且⊥，则与的夹角为等于结束放映返回导航页答案，••，•江西卷已知单位向量与的夹角为，•，则已知平面向量，的夹角为，且在中，为中点，则，因为⊥，所以•，•解得故选结束放映返回导航页因为，所以导航页例•重庆卷已知向量且⊥，则实数考向分层突破二平面向量数量积的性质解析因为所以，当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若则运用两向量的数量积可解决长度夹角垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解结束放映返回结束放映返回导航页平面向量数量积的两种运算方法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即•，则•的值是又因为所以•答案因为•，所以•，即•解析由，得•，则•的值是又因为所以•答案因为•，所以•，即•解析由，得结束放映返回导航页平面向量数量积的两种运算方法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即，当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若则运用两向量的数量积可解决长度夹角垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解结束放映返回导航页例•重庆卷已知向量且⊥，则实数考向分层突破二平面向量数量积的性质解析因为所以，因为⊥，所以•，•解得故选结束放映返回导航页因为，所以•，则已知平面向量，的夹角为，且在中，为中点，则等于结束放映返回导航页答案，••，•江西卷已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则结束放映返回导航页同类练•武汉调研已知向量满足且⊥，则与的夹角为解析⊥⇒••故故所求夹角为答案结束放映返回导航页解析，同类练已知向量如果向量与垂直，那么的值为⊥•,解得,答案结束放映返回导航页答案变式练•山东卷已知向量，若向量，的夹角为，则实数结束放映返回导航页变式练•新课标全国Ⅱ设向量，满足则•解析由得•，•，两式相减向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则结束放映返回导航页同类练•武汉调研已知向量满足且⊥，则与的夹角为解析⊥⇒••故故所求夹角为答案结束放映返回导航页解析，同类练已知向量如果向量与垂直，那么的值为⊥•,解得,答案结束放映返回导航页答案变式练•山东卷已知向量，若向量，的夹角为，则实数结束放映返回导航页变式练•新课标全国Ⅱ设向量，满足则•解析由得•，•，两式相减，得•，•答案结束放映返回导航页故答案解析由题意得又是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，变式练已知向量，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为,由⊥得•，所以，由得，所以•所以，所以，结束放映返回导航页即，而，，为等边三角形答案解析⊥⇒•，拓展练已知是非零向量，且满足⊥，⊥，则的形状为等腰三角形直角三角形等边三角形等腰直角三角形即••⊥⇒•，即•••••结束放映返回导航页因为点在线段上，所以在上的投影的取值范围，而•，•所以故选拓展练•安徽合肥二模设，则在上的投影的取值范围是解析由，可知共线，且点在线段上，如图所示结束放映返回导航页平面向量数量积应用的技巧结束放映返回导航页考向大突破三平面向量与三角函数因为，所以，则，由余弦定理得解析由•，得，所以故向量在方向上的投影为例•广州摸底考试在中，角的对边分别为，向量且•求的值若求角的大小及向量在方向上的投影结束放映返回导航页解析跟踪练•广东揭阳中摸底已知向量,若，求向量，的夹角当时，求函数•的最大值,•结束放映返回导航页平面向量与三角函数的综合问题的解题思路题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等结束放映返回导航页温馨提示请点击相关栏目。整知识萃取知识精华整方法启迪发散思维考向分层突破自主练透型考向分层突破二互动讲练型考向分层突破三分层深化型向量的夹角考点•分层整合图示定义已知两个非零向量和，作则就是向量与的夹角共线与垂直若，则与同向若，则与反向若，则与垂直范围设是向量与的夹角，则结束放映返回导航页平面向量的数量积定义设两个非零向量，的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作•投影叫做向量在方向上的投影，叫做向量在方向上的投影几何意义数量积•等于的长度与在的方向上的投影的乘积结束放映返回导航页平面向量数量积的性质数量积的运算律交换律••数乘结合律•••分配律•••设，都是非零向量，是单位向量，为与或的夹角则••⊥⇔•当与同向时，••当与反向时，••，特别地，•或者•结束放映返回导航页数量积的运算律平面向量数量积的坐标表示交换律••数乘结合律•••分配律•••设向量向量与的夹角为，则结束放映返回导航页明确两个结论考点•分类整合利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧两个向量与的夹角为锐角，则有•，反之不成立因为夹角为时不成立两个向量与的夹角为钝角，则有•，反之不成立因为夹角为时不成立结束放映返回导航页在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设又,考向分层突破平面向量数量积的运算结束放映返回导航页例江西卷设，为单位向量，且，的夹角为，若则向量在方向上的射影为解析依题意得且，所以向量在方向上的射影为，结束放映返回导航页•江苏卷如图，在平行四边形中，已知，•，则•的值是又因为所以•答案因为•，所以•，即•解析由，得结束放映返回导航页平面向量数量积的两种运算方法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即，当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若则运用两向量的数量积可解决长度夹角垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解结束放映返回导航页例•重庆卷已知向量且⊥，则实数考向分层突破二平面向量数量积的性质解析因为所以，因为⊥，所以•，•解得故选结束放映返回导航页因为，所以•，则已知平面向量，的夹角为，且在中，为中点，则等于结束放映返回导航页答案，••，•江西卷已知单位向量与的夹角为，且结束放映返回导航页平面向量数量积的两种运算方法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即导航页例•重庆卷已知向量且⊥，则实数考向分层突破二平面向量数量积的性质解析因为所以•，则已知平面向量，的夹角为，且在中，为中点，则且，向量与的夹角为，则结束放映返回导航页同类练•武汉调研已知向量满足且⊥，则与的夹角为，同类练已知向量如果向量与垂直，那么的值为⊥•,解得变式练•新课标全国Ⅱ设向量，满足则•解析由得•，•，两式相减向量与的夹角为，且解析⊥⇒••故故所求夹角为答案结束放映返回导航页解析,答案结束放映返回导航页答案变式练•山东卷已知向量，若向量，的夹角为，则实数结束放映返回导航页变式练则运用两向量的数量积可解决长度夹角垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解结束放映返回导航页例•重庆卷已知向量且⊥，则实数考向分层突破二平面向量数量积的性质解析因为所以，因为⊥，所以•，•解得故选结束放映返回导航页因为，所以•，则已知平面向量，的夹角为，且在中，为中点，则等于结束放映返回导航页答案，••，•江西卷已知单位向量与的夹角为，且