是奇函数证明设，为,内任意两实数，且，则又因为，所以所以，即，所以函数在,上是增函数用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断与的关系，既可以从开始化简，也可以去考虑或是否为，当不等于时也可考虑与或的关系对于函数，，设，若与同号，则在，上是单调递增的若与异号，则在，上是单调递减的已知函数判断函数的奇偶性，并证明你的结论求证函数在区间，上是增函数解函数为奇函数证明如下的定义域为所以函数已知得，所以，又，且证明由已知和知，当时，有设，则，所以，所以，所以对任意，恒有证明设，则，由,此时只需将变形为解因为令得因为，所以由的值易判断是否大于只需证时，即可若设，则由可得，而对任意，，且，则，且当时，求求证对任意，恒有求证在上是减函数抽象函数的奇偶性与单调性思路点拨采用赋值法，可令有设，则，所以，所以，所以函数在区间，上是增函数设是定义在上的函数，对任意的，，恒有变形为解因为令得因为，所以证明由已知和知，当时于只需证时，即可若设，则由可得，而对任意，，且，则,此时只需将时，求求证对任意，恒有求证在上是减函数抽象函数的奇偶性与单调性思路点拨采用赋值法，可令，由的值易判断是否大以，所以，所以函数在区间，上是增函数设是定义在上的函数，对任意的，，恒有，且当因为，所以，因为，所以，所上是增函数解函数为奇函数证明如下的定义域为所以函数为奇函数证明设，则单调递增的若与异号，则在，上是单调递减的已知函数判断函数的奇偶性，并证明你的结论求证函数在区间，是否为，当不等于时也可考虑与或的关系对于函数，，设，若与同号，则在，上是，即，所以函数在,上是增函数用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断与的关系，既可以从开始化简，也可以去考虑或内任意两实数，且，则又因为，所以所以偶函数的定义与增减函数的定义来判断或证明是解答此类问题的关键解因为定义域为关于原点对称，且，是奇函数证明设，为,偶函数的定义与增减函数的定义来判断或证明是解答此类问题的关键解因为定义域为关于原点对称，且，是奇函数证明设，为,内任意两实数，且，则又因为，所以所以，即，所以函数在,上是增函数用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断与的关系，既可以从开始化简，也可以去考虑或是否为，当不等于时也可考虑与或的关系对于函数，，设，若与同号，则在，上是单调递增的若与异号，则在，上是单调递减的已知函数判断函数的奇偶性，并证明你的结论求证函数在区间，上是增函数解函数为奇函数证明如下的定义域为所以函数为奇函数证明设，则因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以函数在区间，上是增函数设是定义在上的函数，对任意的，，恒有，且当时，求求证对任意，恒有求证在上是减函数抽象函数的奇偶性与单调性思路点拨采用赋值法，可令，由的值易判断是否大于只需证时，即可若设，则由可得，而对任意，，且，则,此时只需将变形为解因为令得因为，所以证明由已知和知，当时，有设，则，所以，所以，所以函数在区间，上是增函数设是定义在上的函数，对任意的，，恒有，且当时，求求证对任意，恒有求证在上是减函数抽象函数的奇偶性与单调性思路点拨采用赋值法，可令，由的值易判断是否大于只需证时，即可若设，则由可得，而对任意，，且，则,此时只需将变形为解因为令得因为，所以证明由已知和知，当时，有设，则，所以，所以，所以对任意，恒有证明设，则，由已知得，所以，又，且，所以在上是减函数本题主要考查对抽象函数的函数值域和单调性的探究由抽象函数求解些函数值如时，般采用赋值法求解，赋值要恰当准确已知部分函数值求另部分函数值时，则需要设到所求段上，然后转到已知段求解根据函数单调性的定义，构造能够借助已知条件中的不等式，判断出函数的单调性是此类问题的难点，也是关键点，需要剖析已知恒等式的结构，转化为已知条件已知定义在上的函数满足对任意，，有当时，且求证判断函数的奇偶性解不等式证明令则有，解令，函数是奇函数解设，为上减函数，又原不等式的解集为函数单调性与奇偶性的综合应用函数是定义在,上的奇函数，且确定函数的解析式用定义证明在,上是增函数解不等式思路点拨由，求得，利用定义法求证利用为奇函数且为,上的增函数将对应关系去掉解根据题意得，即，解得，证明任取，，又，即，在,上是增函数解在,上是增函数，，解得函数的单调性与奇偶性是函数的两大重要性质，二者的有机结合可以解决好多函数问题，在具体应用时，应注意单调性与奇偶性的灵活使用例如本例中是,上的奇函数，则，又是,上的增函数，可将函数不等式中的脱掉，由函数值间的大小关系转化为自变量间的大小关系特别注意的是需要保证每个自变量的取值都在函数的定义域内已知函数是定义在,上的奇函数且是减函数，若，求实数的取值范围解由题意知得由函数是定义在,上的奇函数及，得函数在,上是减函数得实数的取值范围为，第章集合与函数概念习题课三函数的基本性质能够从函数图象上认识函数的单调性和奇偶性，理解并掌握函数的单调性和奇偶性的定义重点熟练运用函数单调性和奇偶性的定义判断函数的基本性质重点难点能够利用函数的单调性比较函数值的大小或解不等式重点难点下列函数中，既是奇函数又是增函数的是解析本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断函数为非奇非偶函数，函数为偶函数，和是奇函数，但是减函数，故选答案定义在上的偶函数，对任意，，，有，则解析为偶函数，故又由题意知当，时，为减函数，且即答案山东高考已知函数为奇函数，且当时则解析利用奇函数的性质求解当时为奇函数，答案若偶函数在，上为增函数，则满足的实数的取值范围是解析偶函数在，上为增函数，所以在，上是减函数，⇒，或，⇒或故,答案,设函数为奇函数，则实数解析为奇函数，即，不恒为答案已知函数，求证在，上是增函数若在，上的值域是求的值证明设，则，在，上是增函数解在，上的值域是又在，上单调递增，，，即解得函数奇偶性与单调性的判定是定义在,上的函数判断函数的奇偶性利用函数单调性的定义证明是其定义域上的增函数思路点拨分别按照奇偶函数的定义与增减函数的定义来判断或证明是解答此类问题的关键解因为定义域为关于原点对称，且，是奇函数证明设，为,内任意两实数，且，则又因为，所以所以，即，所以函数在,上是增函数用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断与的关系，既可以从开始化简，也可以去考虑或是否为，当不等于时也可考虑与或的关系对于函数，，设，若与同号，则在，上是单调递增的若与异号，则在，上是单调递减的已知函数判断函数的奇偶性，并证明你的结论求证函数在区间，上是增函数解函数为奇函数证明如下的定义域为所以函数为奇函数证明设，则因为，所以，因为，所以，所以内任意两实数，且，则又因为，所以所以是否为，当不等于时也可考虑与或的关系对于函数，，设，若与同号，则在，上是上是增函数解函数为奇函数证明如下的定义域为所以函数为奇函数证明设，则以，所以，所以函数在区间，上是增函数设是定义在上的函数，对任意的，，恒有，且当于只需证时，即可若设，则由可得，而对任意，，且，则,此时只需将，有设，则，所以，所以，所以函数在区间，上是增函数设是定义在上的函数，对任意的，，恒有由的值易判断是否大于只需证时，即可若设，则由可得，而对任意，，且，则证明由已知和知，当时，有设，则，所以，所以，所以对任意，恒有证明设，则，由是奇函数证明设，为,内任意两实数，且，则又因为，所以所以，即，所以函数在,上是增函数用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断与的关系，既可以从开始化简，也可以去考虑或是否为，当不等于时也可考虑与或的关系对于函数，，设，若与同号，则在，上是单调递增的若与异号，则在，上是单调递减的已知函数判断函数的奇偶性，并证明你的结论求证函数在区间，上是增函数解函数为奇函数证明如下的定义域为所以函数