去掉端点指数小于，在第象限为双曲线型幂函数的性质归纳所有的幂函数在区间，上都有定义，并且图象都过点,时，幂函数的图象通过原点，并且在区间，上是增函数时，幂函数的图象在区间，上是减函数在第象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴幂函数的概念函数是幂函数，且当，时，是增函数，试确定的值思路点拨根据幂函数的定义列方程由单调性确定出解根据幂函数的定义得，解得或，当时，在，上是增函数当时，在，上是减函数，不符合要求故互动探究在本例中其他条件不变，只改为“是减函数”，又如何确定的值解根据幂函数的定义得，解得或，当时，在，上是增函数，不符合题意当时，在，上是减函数故幂函数的判断方法幂函数同指数函数对数函数样，是种“形式定义”，函数在，上为增函数，又，则，从而，函数在思路点拨可利用的单调性比较可利用的单调性比较可利用的单调性比较可利用“搭桥法”比较解函数在，上为减函数，又，所以，的图象如图满足的的取值范围是比较下列各组数的大小幂函数性质的应用和和和，和第象限内图象的画法当时，其图象可以类似画出当时，其图象可以类似画出当时，其图象可以类似画出已知，试求的取值范围解在同坐标系中，画出作幂函数图象的原则和方法原则作幂函数的图象要联系函数的定义域值域单调性奇偶性等方法首先作出幂函数在第象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象幂函数在，在同坐标系内作出与的图象，如图，由图象可知当或时当时当或时，试求的取值范围解在同坐标系中，画出，的图象如图满足析式，然后根据两幂函数图象的特点再分别确定的取值解设，由题意得，⇒，同理可求，幂函数在定义域内完整的图象幂函数在第象限内图象的画法当时，其图象可以类似画出当时，其图象可以类似画出当时，其图象可以类似画出已知，当或时，作幂函数图象的原则和方法原则作幂函数的图象要联系函数的定义域值域单调性奇偶性等方法首先作出幂函数在第象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出⇒，同理可求在同坐标系内作出与的图象，如图，由图象可知当或时当时思路点拨本题中给出的两个点分别在幂函数的图象上，由幂函数的定义，可用待定系数法先确定两幂函数的解析式，然后根据两幂函数图象的特点再分别确定的取值解设，由题意得，函数，不符合要求故幂函数的图象与性质已知点，在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上，问当为何值时，数，且当，时，是增函数，求的解析式解根据幂函数的定义得解得或当时，在，上是增函数当时，在，上是减依据若个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件常用方法设幂函数解析式为，根据条件求出函数是幂函也说是说必须完全具备形如的函数才是幂函数如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断求幂函数解析式的依据及常用方法或，当时，在，上是增函数，不符合题意当时，在，上是减函数故幂函数的判断方法幂函数同指数函数对数函数样，是种“形式定义”的函数，是增函数当时，在，上是减函数，不符合要求故互动探究在本例中其他条件不变，只改为“是减函数”，又如何确定的值解根据幂函数的定义得，解得或是增函数当时，在，上是减函数，不符合要求故互动探究在本例中其他条件不变，只改为“是减函数”，又如何确定的值解根据幂函数的定义得，解得或，当时，在，上是增函数，不符合题意当时，在，上是减函数故幂函数的判断方法幂函数同指数函数对数函数样，是种“形式定义”的函数，也说是说必须完全具备形如的函数才是幂函数如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断求幂函数解析式的依据及常用方法依据若个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件常用方法设幂函数解析式为，根据条件求出函数是幂函数，且当，时，是增函数，求的解析式解根据幂函数的定义得解得或当时，在，上是增函数当时，在，上是减函数，不符合要求故幂函数的图象与性质已知点，在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上，问当为何值时，思路点拨本题中给出的两个点分别在幂函数的图象上，由幂函数的定义，可用待定系数法先确定两幂函数的解析式，然后根据两幂函数图象的特点再分别确定的取值解设，由题意得，⇒，同理可求在同坐标系内作出与的图象，如图，由图象可知当或时当时当或时，作幂函数图象的原则和方法原则作幂函数的图象要联系函数的定义域值域单调性奇偶性等方法首先作出幂函数在第象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象幂函数在第象限内图象的画法当时，其图象可以类似画出当时，其图象可以类似画出当时，其图象可以类似画出已知，试求的取值范围解在同坐标系中，画出，的图象如图满足析式，然后根据两幂函数图象的特点再分别确定的取值解设，由题意得，⇒，同理可求在同坐标系内作出与的图象，如图，由图象可知当或时当时当或时，作幂函数图象的原则和方法原则作幂函数的图象要联系函数的定义域值域单调性奇偶性等方法首先作出幂函数在第象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象幂函数在第象限内图象的画法当时，其图象可以类似画出当时，其图象可以类似画出当时，其图象可以类似画出已知，试求的取值范围解在同坐标系中，画出，的图象如图满足的的取值范围是比较下列各组数的大小幂函数性质的应用和和和，和思路点拨可利用的单调性比较可利用的单调性比较可利用的单调性比较可利用“搭桥法”比较解函数在，上为减函数，又，所以，函数在，上为增函数，又，则，从而，函数在，上为减函数，又，所以，所以利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同函数的同单调区间内，否则无法比较大小比较下列各组数的大小，，，，解幂函数在，上是单调增函数，又，幂函数在，上是单调减函数，又，，而，函数为减函数，又，，又函数在，上是增函数，且，，易错误区系列八运用幂函数单调性时忽视单调区间的讨论致误已知幂函数的图象关于轴对称，且在，上是减函数，则满足的的取值范围为错解函数在，上单调递减解得又函数图象关于轴对称，是偶数又为奇数为偶数，又在，上均为减函数，由，得即的取值范围是，错因解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于的不等式在这里极易出现认为函数在，和，上减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而得出，即的错误结论正解由，得或或解得或，即的取值范围是，，纠错心得由得与的大小关系时，如果的单调区间不止个，那么需要对，的范围进行讨论这时可借助函数的图象，直观地进行分析，得出结果成功破障若，则实数的取值范围为解析考察幂函数，因为在定义域，上是增函数，所以，解得故的取值范围是，答案，第二章基本初等函数Ⅰ幂函数掌握幂函数的概念图象和性质重点熟悉时的五类幂函数的图象性质及其特点易混点能利用幂函数的性质来解决实际问题难点幂函数的概念般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数幂函数的图象与性质幂函数图象幂函数定义域，，，值域，，，，奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增，，增增，，定点,增减减减想想幂函数与指数函数，且有何区别提示幂函数的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数中，底数是常数，指数是自变量幂函数的图象能过第四象限吗提示对幂函数而言，当时，必有，故幂函数图象不过第四象限判判正确的打，错误的打“”幂函数的图象必过点,和,幂函数的定义域奇偶性单调性，因函数式中的不同而各异幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意个象限幂函数解析式的结构特征指数为常数底数是自变量，自变量的系数为幂的系数为只有项幂函数在第象限的图象特征指数大于，在第象限为抛物线型下凸指数等于，在第象限为上升的射线去掉端点指数大于小于，在第象限为抛物线型上凸指数等于，在第象限为水平的射线去掉端点指数小于，在第象限为双曲线型幂函数的性质归纳所有的幂函数在区间，上都有定义，并且图象都过点,时，幂函数的图象通过原点，并且在区间，上是增函数时，幂函数的图象在区间，上是减函数在第象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴幂函数的概念函数是幂函数，且当，时，是增函数，试确定的值思路点拨根据幂函数的定义列方程由单调性确定出解根据幂函数的定义得，解得或，当时，在，上是增函数当时，在，上是减函数，不符合要求故互动探究在本例中其他条件不变，只改为“是减函数”，又如何确定的值解根据幂函数的定义得，解得或，当时，在，上是增函数，不符合题意当时，在，上是减函数故幂函数的判断方法幂函数同指数函数对数函数样，是种“形式定义”的函数，也说是说必须完全具备形如的函数才是幂函数如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断求幂函数解析式的依据及常用方法依据若个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件常用方法设幂函数解析式为，根据条件求出函数是幂函数，且当，时，是增函数，求的解析式解根据幂函数的定义得解得或当时，在，上是增函数当时，在，上是减函数，不符合要求故幂函数的图象与性质已知点，在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上，问当为何值时，思路点拨本题中给出的两个点分别在幂函数的图象上，由幂函数的定义，可用待定系数法先确定两幂函数的解析式，然后根据两幂函数图象的特点再分别确定的取值解设，由题意得，或，当时，在，上是增函数，不符合题意当时，在，上是减函数故幂函数的判断方法幂函数同指数函数对数函数样，是种“形式定义”的函数，依据若个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备