函数模型解决问题的基本过程想想生活实际问题中，自变量的取值范围往往有何要求提示生活实际问题中，自变量需考虑生活实际意义，不能只注重函数解析式自身的限制要求做做假设商品靠广告销售的收入与广告费之间满足关系，那么广告效应，当时，取得最大广告效应解析当，即时，取得最大值答案求解函数应用题的程序概括为“四步八字”，即审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型求模求解数学模型，得出数学结论还原将数学结论还原为实际问题的意义利用已知函数模型解决问题企业拟共用万元投资甲乙两种商品已知各投入万元，甲乙两种商品可分别获得，万元的利润，利润曲线，如图所示求函数，的解析式为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获得最大利润思路点拨函数图象待定系数法与的解析式总利润配方法换元法最大利润解过式比较法若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较描点观察法若根据题设条件不药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为再经过天后小白鼠体内的病毒细胞个数为，段增长较快，与实际数据中稳定于数值附近不符数据拟合问题的三种求解策略直接法若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解列生长阶段函数值生长阶段函数值生长阶段函数值从表中我们可以清楚地看出，第到第生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面数据误差较大这个指数函数反映了在玉米生长的后几个阶，并且通过点,和把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得，因此，用指数函数近似得到的关系式为由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下生长阶段函数值关系式来近似地表达这个图形，但我们仔细观察第个生长阶段至第个生长阶段的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相似下面我们来考虑给出第至第个生长阶段的个指数函数关系式假设指数函数际数据作比较，通过比较，你得到了什么信息思路点拨借助散点图探求函数模型根据拟合函数解决实际问题验证结果解作出散点图，变化趋势线近似于形，如图以我们现有的知识很难找出个函数决实际问题生长阶段植株高度生长阶段植株高度生长阶段植株高度生长阶段植株高度作出函数图象，近似地写出与之间的关系式利用得到的关系式，与表中实得，解得，即再经过天必须注射药物，即第二次最迟应在第天注射药物我国农业科学家研究玉米植株生长高度与时间的函数关系的例子下表给出了地区玉米在不同阶段的高度数据建立拟合函数解亡，则，两边取对数，解得，即第次最迟应在第天注射该种药物由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为再经过天后小白鼠体内的病毒细胞个数为，由题意，两边取对数确到天第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命精确到天，解由题意知病毒细胞个数关于天数的函数关系式为为了使小白鼠在实验过程中不死数的记录如下表天数病毒细胞个数已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候小白鼠将死亡但注射种药物，可杀死其体内该病毒细胞的为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第次最迟应在何时注射该种药物精数理关在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的个数与天最多还能砍伐年建立数学模型定要过好三关事理关通过阅读理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口文理关将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系解得，故到今年为止，已砍伐了年设从今年开始，以后砍了年，则年后剩余面积为令，即，解得故今后建立指数函数模型求解解设每年砍伐面积的百分比为，则，即，解得设经过年剩余面积为原来的，则，即所用时间是年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的求每年砍伐面积的百分比到今年为止，该森林已砍伐了多少年今后最多还能砍伐多少年思路点拨可，为减函数，当时，的最大值是，当时，日销售额有最大值自建函数模型解决问题片森林原来的面积为，计划每年砍伐些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的半时，所，为减函数，当时，的最大值是，当时，日销售额有最大值自建函数模型解决问题片森林原来的面积为，计划每年砍伐些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的半时，所用时间是年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的求每年砍伐面积的百分比到今年为止，该森林已砍伐了多少年今后最多还能砍伐多少年思路点拨可建立指数函数模型求解解设每年砍伐面积的百分比为，则，即，解得设经过年剩余面积为原来的，则，即解得，故到今年为止，已砍伐了年设从今年开始，以后砍了年，则年后剩余面积为令，即，解得故今后最多还能砍伐年建立数学模型定要过好三关事理关通过阅读理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口文理关将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系数理关在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表天数病毒细胞个数已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候小白鼠将死亡但注射种药物，可杀死其体内该病毒细胞的为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第次最迟应在何时注射该种药物精确到天第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命精确到天，解由题意知病毒细胞个数关于天数的函数关系式为为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则，两边取对数，解得，即第次最迟应在第天注射该种药物由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为再经过天后小白鼠体内的病毒细胞个数为，由题意，两边取对数得，解得，即再经过天必须注射药物，即第二次最迟应在第天注射药物我国农业科学家研究玉米植株生长高度与时间的函数关系的例子下表给出了地区玉米在不同阶段的高度数据建立拟合函数解决实际问题生长阶段植株高度生长阶段植株高度生长阶段植株高度生长阶段植株高度作出函数图象，近似地写出与之间的关系式利用得到的关系式，与表中实际数据作比较，通过比较，你得到了什么信息思路点拨借助散点图探求函数模型根据拟合函数解决实际问题验证结果解作出散点图，变化趋势线近似于形，如图以我们现有的知识很难找出个函数关系式来近似地表达这个图形，但我们仔细观察第个生长阶段至第个生长阶段的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相似下面我们来考虑给出第至第个生长阶段的个指数函数关系式假设指数函数，并且通过点,和把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得，因此，用指数函数近似得到的关系式为由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下生长阶段函数值生长阶段函数值生长阶段函数值生长阶段函数值从表中我们可以清楚地看出，第到第生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面数据误差较大这个指数函数反映了在玉米生长的后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于数值附近不符数据拟合问题的三种求解策略直接法若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解列式比较法若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较描点观察法若根据题设条件不药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为再经过天后小白鼠体内的病毒细胞个数为，由题意，两边取对数得，解得，即再经过天必须注射药物，即第二次最迟应在第天注射药物我国农业科学家研究玉米植株生长高度与时间的函数关系的例子下表给出了地区玉米在不同阶段的高度数据建立拟合函数解决实际问题生长阶段植株高度生长阶段植株高度生长阶段植株高度生长阶段植株高度作出函数图象，近似地写出与之间的关系式利用得到的关系式，与表中实际数据作比较，通过比较，你得到了什么信息思路点拨借助散点图探求函数模型根据拟合函数解决实际问题验证结果解作出散点图，变化趋势线近似于形，如图以我们现有的知识很难找出个函数关系式来近似地表达这个图形，但我们仔细观察第个生长阶段至第个生长阶段的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相似下面我们来考虑给出第至第个生长阶段的个指数函数关系式假设指数函数，并且通过点,和把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得，因此，用指数函数近似得到的关系式为由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下生长阶段函数值生长阶段函数值生长阶段函数值生长阶段函数值从表中我们可以清楚地看出，第到第生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面数据误差较大这个指数函数反映了在玉米生长的后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于数值附近不符数据拟合问题的三种求解策略直接法若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解列式比较法若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较描点观察法若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了个观察站，测量最大积雪深度与当年灌溉面积现有连续年的实测资料，如下表所示年序最大积雪深度灌溉面积公顷描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象建立个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为，可以灌溉土地多少公顷解描点作图如下从图甲中可以看到，数据点大致落在条直线附近，由此，我们假设灌溉面积和最大积雪深度满足线性函数模型取其中的两组数据代入，得用计算器可得，这样，我们得到个函数模型，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系由，求得，即当最大积雪深度为时，可以灌溉土地公顷易错误区系列十在解答应用题时，因忽略自变量的实际意义导致定义域错误，从而造成整个问题的求解错误如图所示，在矩形中，已知，在上分别截取都等于，问当为何值时，四边形的面积最大并求出最大面积错解设四边形的面积为，则，即当时，有最大值为正解设四边形的面积为，则由图形知函数的定义域为，即时，在，上是增函数，此时当时，有最大值为综上可知，若，则当时，四边形面积，若，则当时，四边形面积纠错心得由实际问题得到的函数，其自变量取