为，则⇔⇔若，则平面内两点间的距离公式⊥已知且⊥，则实数的值为已知向量，满足且，则与的夹角大小为已知向量且则年山东在平面直角坐标系中，已知,若，则实数解析⊥考点向量数量积的基本运算例年大纲已知，为单位向量，其夹角为，则解析故选答案年北京顺义第次统练已知向量且⊥，则实数解析，则易错易混易漏向量中错误使用充要条件造成问题解答不全例题已知向量，若向量与的夹角为直角，求实数的何意义如垂直问题，平分问题，平行问题，等份问题等互动探究已知直线与圆相交于，两点，且，则解析易求得角最小当圆周角为直角时，只要判断点与直径两端点的连线所构成的角是锐角还是钝角即可知道该点是在圆内还是圆外在解析几何中，两个向量相等通常转化为两个分量相等对于解析几何中的向量，通常要清楚向量的几故为锐角原点在圆外规律方法同弧的圆周角圆外角和圆内角中，圆内角最大，圆外，由题意，得椭圆的标准方程为由知设则轴端点和焦点所组成的四边形周长等于求椭圆的方程已知，是直线上的两个动点，且设圆是以为直径的圆，试判断原点与圆的位置关系解设椭圆的标准方程为，考点向量的数量积在解析几何中的应用例已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点，在轴上，离心率为，椭圆的短则的取值范围是互动探究在边长为的等边中，点为边上的动点解析设，则根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理及解三角形等知识方法二最大的是图答案解析设正六边形的边长为，则案规律方法当向量表示平面图形中的些有向线段时，要,即，考点向量数量积在平面几何中的应用例年山东泰安统测如图，已知正六边形，则下列向量的数量积中年安徽若非零向量，满足，则，夹角的余弦值为解析，，，则二是利用数量积的定义，即互动探究年广东江门模已知向量若，则解析⊥，即，解得答案规律方法向量的数量积通常有两种计算方法是利用坐标运算,设向量，解析故选答案年北京顺义第次统练已知向量且⊥，则实数数解析⊥考点向量数量积的基本运算例年大纲已知，为单位向量，其夹角为，则为已知向量且则年山东在平面直角坐标系中，已知,若，则实数为已知向量且则年山东在平面直角坐标系中，已知,若，则实数解析⊥考点向量数量积的基本运算例年大纲已知，为单位向量，其夹角为，则解析故选答案年北京顺义第次统练已知向量且⊥，则实数解析⊥，即，解得答案规律方法向量的数量积通常有两种计算方法是利用坐标运算,设向量，，，，则二是利用数量积的定义，即互动探究年广东江门模已知向量若，则年安徽若非零向量，满足，则，夹角的余弦值为解析,即，考点向量数量积在平面几何中的应用例年山东泰安统测如图，已知正六边形，则下列向量的数量积中最大的是图答案解析设正六边形的边长为，则案规律方法当向量表示平面图形中的些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理及解三角形等知识方法二则的取值范围是互动探究在边长为的等边中，点为边上的动点解析设，则，考点向量的数量积在解析几何中的应用例已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点，在轴上，离心率为，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于求椭圆的方程已知，是直线上的两个动点，且设圆是以为直径的圆，试判断原点与圆的位置关系解设椭圆的标准方程为，由题意，得椭圆的标准方程为由知设则故为锐角原点在圆外规律方法同弧的圆周角圆外角和圆内角中，圆内角最大，圆外角最小当圆周角为直角时，只要判断点与直径两端点的连线所构成的角是锐角还是钝角即可知道该点是在圆内还是圆外在解析几何中，两个向量相等通常转化为两个分量相等对于解析几何中的向量，通常要清楚向量的几何意义如垂直问题，平分问题，平行问题，等份问题等互动探究已知直线与圆相交于，两点，且，则解析易求得，则易错易混易漏向量中错误使用充要条件造成问题解答不全例题已知向量，若向量与的夹角为直角，求实数的值若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围正解若与的夹角为直角，则，即或若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，且解得或实数的取值范围是或失误与防范两个向量中包括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况这两点在解题中要特别注意第讲平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系两个向量的数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积或内积，记作，即规定零向量与任向量的数量积为，即平面向量数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，为与或的夹角，则⊥⇔当与同向时，当与向时，特别地反平面向量数量积的坐标运算设向量向量与的夹角为，则⇔⇔若，则平面内两点间的距离公式⊥已知且⊥，则实数的值为已知向量，满足且，则与的夹角大小为已知向量且则年山东在平面直角坐标系中，已知,若，则实数解析⊥考点向量数量积的基本运算例年大纲已知，为单位向量，其夹角为，则解析故选答案年北京顺义第次统练已知向量且⊥，则实数解析⊥，即，解得答案规律方法向量的数量积通常有两种计算方法是利用坐标运算,设向量，，，，则二是利用数量积的定义，即互动探究年广东江门模已知向量若，则年安徽若非零向量，满足数解析⊥考点向量数量积的基本运算例年大纲已知，为单位向量，其夹角为，则解析⊥，即，解得答案规律方法向量的数量积通常有两种计算方法是利用坐标运算,设向量，年安徽若非零向量，满足，则，夹角的余弦值为解析最大的是图答案解析设正六边形的边长为，则案规律方法当向量表示平面图形中的些有向线段时，要则的取值范围是互动探究在边长为的等边中，点为边上的动点解析设，则轴端点和焦点所组成的四边形周长等于求椭圆的方程已知，是直线上的两个动点，且设圆是以为直径的圆，试判断原点与圆的位置关系解设椭圆的标准方程为故为锐角原点在圆外规律方法同弧的圆周角圆外角和圆内角中，圆内角最大，圆外何意义如垂直问题，平分问题，平行问题，等份问题等互动探究已知直线与圆相交于，两点，且，则解析易求得为，则⇔⇔若，则平面内两点间的距离公式⊥已知且⊥，则实数的值为已知向量，满足且，则与的夹角大小为已知向量且则年山东在平面直角坐标系中，已知,若，则实数解析⊥考点向量数量积的基本运算例年大纲已知，为单位向量，其夹角为，则解析故选答案年北京顺义第次统练已知向量且⊥，则实数解析