性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集函数的单调性是对个区间而言的，在点上不存在单调性个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数在，和，上单调递减，却不能表述为函数在，，上单调递减并非所有的函数都具有单调性如函数，是有理数是无理数就不具有单调性由函数图象说明函数的单调性例函数的图象如图所示，其增区间是,画出函数的图象并写出函数的单调区间解析根据函数单调性定义及函数图象知在,上单调递增答案解，即，函数图象如图所示，单调增区间为单调减区间为，类题通法由图象确定函数单调性的方法及注意事项图象从左向右上升，叫函数递增图象从左向右研究函数的单调性易忽视定义域典例已知是定义在区间,上的增函数，且，则的取值范围为解析由题意，得，解得在区间,上是减函数，所以因为函数的图象开口向下，对称轴为直线，且函数在区间,上为减函数，所以故满足题意的的取值范围是,答案调性问题时，定要仔细读题，明确条件含义活学活用若与在区间,上都是减函数，则的取值范围是,∩,解析因为区间为”与“函数在区间上单调”的区别单调区间是个整体概念，说函数的单调递减区间是，指的是函数递减的最大范围为区间而函数在区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单函数在区间,上单调，只需或其中当时，函数在区间,上单调递增当时，函数在区间,上单调递减，从而，，类题通法“函数的单调，即所求的取值范围是，答案，解函数的图象开口向上，对称轴为直线，画出草图如图所示由图象可知函数在，和，上分别单调，因此要使，则的取值范围是已知函数在区间,上单调，求实数的取值范围解析由题意可知即由可知数在区间,上单调递增当时，函数在区间,上单调递减，从而，，类题通法“函数的单调区间为”与“函数在区间上单调”的区别单调区上是减函数，且数的图象开口向上，对称轴为直线，画出草图如图所示由图象可知函数在，和，上分别单调，因此要使函数在区间,上单调，只需或其中当时，函知函数在区间,上单调，求实数的取值范围解析由题意可知即由可知即所求的取值范围是，答案，解函在，上是减函数由函数的单调性求参数的取值范围例已知在定义域,上是减函数，且，则的取值范围是已证明函数在，上是减函数证明设，是区间，上任意两个实数且即，即函数在，上是减函数类题通法利用定义证明函数单调性的步骤活学活用利用单调性的定义，函数的递减区间是,函数单调性的证明例求证函数在，上是减函数，在，上是增函数证明对于任意的，且，先作出的图象，保留其在轴及轴上方部分，把它在轴下方的图象翻到轴上方就得到的图象，如图所示由图象易得函数的递增区间是，的单调区间解图象如图所示的单调递减区间为单调递增区间为，令方法及注意事项图象从左向右上升，叫函数递增图象从左向右下降，则函数递减单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接活学活用求下列函数的方法及注意事项图象从左向右上升，叫函数递增图象从左向右下降，则函数递减单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接活学活用求下列函数的单调区间解图象如图所示的单调递减区间为单调递增区间为，令先作出的图象，保留其在轴及轴上方部分，把它在轴下方的图象翻到轴上方就得到的图象，如图所示由图象易得函数的递增区间是，函数的递减区间是,函数单调性的证明例求证函数在，上是减函数，在，上是增函数证明对于任意的，且，即函数在，上是减函数类题通法利用定义证明函数单调性的步骤活学活用利用单调性的定义，证明函数在，上是减函数证明设，是区间，上任意两个实数且即在，上是减函数由函数的单调性求参数的取值范围例已知在定义域,上是减函数，且，则的取值范围是已知函数在区间,上单调，求实数的取值范围解析由题意可知即由可知即所求的取值范围是，答案，解函数的图象开口向上，对称轴为直线，画出草图如图所示由图象可知函数在，和，上分别单调，因此要使函数在区间,上单调，只需或其中当时，函数在区间,上单调递增当时，函数在区间,上单调递减，从而，，类题通法“函数的单调区间为”与“函数在区间上单调”的区别单调区上是减函数，且，则的取值范围是已知函数在区间,上单调，求实数的取值范围解析由题意可知即由可知即所求的取值范围是，答案，解函数的图象开口向上，对称轴为直线，画出草图如图所示由图象可知函数在，和，上分别单调，因此要使函数在区间,上单调，只需或其中当时，函数在区间,上单调递增当时，函数在区间,上单调递减，从而，，类题通法“函数的单调区间为”与“函数在区间上单调”的区别单调区间是个整体概念，说函数的单调递减区间是，指的是函数递减的最大范围为区间而函数在区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，定要仔细读题，明确条件含义活学活用若与在区间,上都是减函数，则的取值范围是,∩,解析因为在区间,上是减函数，所以因为函数的图象开口向下，对称轴为直线，且函数在区间,上为减函数，所以故满足题意的的取值范围是,答案研究函数的单调性易忽视定义域典例已知是定义在区间,上的增函数，且，则的取值范围为解析由题意，得，解得因为是定义在区间,上的增函数，且，所以，解得由得答案，类题通法上题易忽视函数的定义域为直接利用单调性得到不等式需要注意的是，不要忘记函数的定义域成功破障函数的单调递增区间为解析函数的单调递增区间为，答案，随堂即时演练下列函数中，满足“对任意，，，都有”的是解析⇔在，上为增函数，而及在，上均为减函数，故，错误在,上递减，在，上递增，故错误，所以在，上递增，故只有正确答案函数，的递增区间依次是，，，，解析分别作出与的图象得在，上递增，在，上递增，选答案若在上是减函数，则填“”或“又答案已知函数在，上是减函数，则实数的取值范围为解析，的减区间是，又已知在，上是减函数即所求实数的取值范围是，答案，求证函数在区间，上为单调减函数证明任取，，，且，则，函数在区间，上为单调减函数“课时达标检测”见“课时跟踪检测九”第章突破常考题型题型理解教材新知知识点题型二题型三跨越高分障碍应用落实体验随堂即时演练课时达标检测函数的基本性质单调性与最大小值第课时函数的单调性单调性与最大小值第课时函数的单调性提出问题观察下列函数图象函数的单调性问题从图象上看，自变量增大时，函数的值如何变化提示甲图中，函数的值随增大而增大乙图中，函数的值随增大而减小丙图中，在轴左侧函数的值随的增大而减小在轴右侧，函数的值随的增大而增大问题甲乙图中，若问题丙图中，若，则自变量属于哪个区间提示，导入新知定义域为的函数的增减性单调性与单调区间如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这区间上具有严格的，区间叫做的单调性单调区间化解疑难，的三个特征任意性，即，是在区间上的任意两个值，不能以特殊值代换有大小，即确定的两个值，必须区分大小，般令同属个单调区间理解函数的单调性应注意的问题函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集函数的单调性是对个区间而言的，在点上不存在单调性个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数在，和，上单调递减，却不能表述为函数在，，上单调递减并非所有的函数都具有单调性如函数，是有理数是无理数就不具有单调性由函数图象说明函数的单调性例函数的图象如图所示，其增区间是,画出函数的图象并写出函数的单调区间解析根据函数单调性定义及函数图象知在,上单调递增答案解，即，函数图象如图所示，单调增区间为单调减区间为，类题通法由图象确定函数单调性的方法及注意事项图象从左向右上升，叫函数递增图象从左向右下降，则函数递减单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接活学活用求下列函数的单调区间解图象如图所示的单调递减区间为单调递增区间为，令先作出的图象，保留其在轴及轴上方部分，把它在轴下方的图象翻到轴上方就得到的图象，如图所示由图象易得函数的递增区间是，函数的递减区间是,函数单调性的证明例求证函数在，上是减函数，在，上是增函数证明对于任意的，且，即函数在，上是减函数类题通法利用定义证明函数单调性的步骤活学活用利用单调性的定义，证明函数在，上是减函数证明设，是区间，上任意两个实数且即在，上是减函数由函数的单调性求参数的取值范围例已知在定义域,上是减函数，且，则的取值范围是已知函的单调区间解图象如图所示的单调递减区间为单调递增区间为，令函数的递减区间是,函数单调性的证明例求证函数在，上是减函数，在，上是增函数证明对于任意的，且，证明函数在，上是减函数证明设，是区间，上任意两个实数且即知函数在区间,上单调，求实数的取值范围解析由题意可知即由可知即所求的取值范围是，答案，解函数在区间,上单调递增当时，函数在区间,上单调递减，从而，，类题通法“函数的单调区间为”与“函数在区间上单调”的区别单调区上是减函数，且，即所求的取值范围是，答案，解函数的图象开口向上，对称轴为直线，画出草图如图所示由图象可知函数在，和，上分别单调，因此要使区间为”与“函数在区间上单调”的区别单调区间是个整体概念，说函数的单调递减区间是，指的是函数递减的最大范围为区间而函数在区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单在区间,上是减函数，所以因为函数的图象开口向下，对称轴为直线，且函数在区间,上为减函数，所以故满足题意的的取值范围是,答案性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集函数的单调性是对个区间而言的，在点上不存在单调性个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数在，和，上单调递减，却不能表述为函数在，，上单调递减并非所有的函数都具有单调性如函数，是有理数是无理数就不具有单调性由函数图象说明函数的单调性例函数的图象如图所示，