1、“.....得，即数列的前项是负数，第项及以后的项都为非负数设，分别表示数列和的前项之和，当时，当时，数列的前项和方法规律总结已知为等差数列，求数列的前项和的步骤第步，解不等式或寻找的正负项分界点第二步，求和，若各项均为正数或均为负数，则各项的和等于的各项的和或其相反数若，这时数列只有前面有限项为正数或负数可分段求和再相加设等差数列的前项和为求求„解析为等差数列为的前项和，数,恒成立，当时即，当时，有得，即，已知正数数列的前项和为，且对任意的正整数满足求数列的通项公式设，求数列的前项和解析对任意的正整的积，且这两项相差，所以可将其拆分为两项之差，即解析，„„当时，的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为，如本例裂项求和求数列的前项和分析通项的分母是两项的步骤当时，当时，根据写出，化简如果也满足当时，的通项公式，那么数列的通项公式为如果不满足此时若，，故......”。

2、“.....求通项公式此时若，故当时当时则答案，解析当时当时则，但，不满足等差数列的定义，不是等差列已知下面各数列的前项和的公式，写出的通项公式，又，不满足，数列的通项公式是，由知，当时，求的通项公式判断是否为等差数列分析已知求借助与的关系求解已知求通项公式解析，当时，又，所以因为函数的图象的对称轴为，取最接近的整数，故取得最小值时的值为已知数列的前项和求注意三已知时，借助二次函数性质探求已知等差数列的前项和为且，则取得最小值时的值为答案解析由，得界点解法三利用及等差数列的性质要注意体会各种解法的着眼点，总结规律方法规律总结讨论等差数列前项和的最值的方法已知通项时，由或探求二已知前项和时，用配方法探项或前项和最小点评解法利用等差数列前项和是的二次函数公差时，通过二次函数求最值的方法求解解法二利用等差数列的性质由，从而数列中必存在项且以找出正负项的分，解得取或时，取最小值解法三，前，有最小值又，或时......”。

3、“.....由得，设，有最小值又，或时，取最小值解法二同解法，由得，设，解得取或时，取最小值解法三，前项或前项和最小点评解法利用等差数列前项和是的二次函数公差时，通过二次函数求最值的方法求解解法二利用等差数列的性质由，从而数列中必存在项且以找出正负项的分界点解法三利用及等差数列的性质要注意体会各种解法的着眼点，总结规律方法规律总结讨论等差数列前项和的最值的方法已知通项时，由或探求二已知前项和时，用配方法探求注意三已知时，借助二次函数性质探求已知等差数列的前项和为且，则取得最小值时的值为答案解析由，得又，所以因为函数的图象的对称轴为，取最接近的整数，故取得最小值时的值为已知数列的前项和求的通项公式判断是否为等差数列分析已知求借助与的关系求解已知求通项公式解析，当时又，不满足，数列的通项公式是，由知，当时但，不满足等差数列的定义，不是等差列已知下面各数列的前项和的公式......”。

4、“.....解析当时当时则此时若，故当时当时则此时若，，故，方法规律总结已知数列的前项和公式，求通项公式的步骤当时，当时，根据写出，化简如果也满足当时，的通项公式，那么数列的通项公式为如果不满足当时，的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为，如本例裂项求和求数列的前项和分析通项的分母是两项的积，且这两项相差，所以可将其拆分为两项之差，即解析，„„已知正数数列的前项和为，且对任意的正整数满足求数列的通项公式设，求数列的前项和解析对任意的正整数,恒成立，当时即，当时，有得，即数列是首项为，公差为的等差数列，，„„方法规律总结般地，若数列的通项能够拆分为的形式，且，则可以裂项后，前后项相加相消求和般地，若为等差数列，是与无关的常数，则求的前项和可用裂项求和法在等差数列中，求数列的前项和分析本题实际上是求数列的前项的绝对值之和......”。

5、“.....要求我们应首与的关系求解已知求通项公式解析，当时又，不满足，数列的通项公式是，由知，当时但，不满足等差数列的定义，不是等差列已知下面各数列的前项和的公式，写出的通项公式答案，解析当时当时则此时若，故当时当时则此时若，，故，方法规律总结已知数列的前项和公式，求通项公式的步骤当时，当时，根据写出，化简如果也满足当时，的通项公式，那么数列的通项公式为如果不满足当时，的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为，如本例裂项求和求数列的前项和分析通项的分母是两项的积，且这两项相差，所以可将其拆分为两项之差，即解析，„„已知正数数列的前项和为，且对任意的正整数满足求数列的通项公式设，求数列的前项和解析对任意的正整数,恒成立，当时即，当时，有得，即数列是首项为，公差为的等差数列，......”。

6、“.....若数列的通项能够拆分为的形式，且，则可以裂项后，前后项相加相消求和般地，若为等差数列，是与无关的常数，则求的前项和可用裂项求和法在等差数列中，求数列的前项和分析本题实际上是求数列的前项的绝对值之和，由绝对值的意义，要求我们应首先分清这个数列中的那些项是负的，哪些项非负的由已知，数列是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起哪些项是负数，然后再分段求出前项的绝对值之和含绝对值的数列的前项和解析等差数列的公差由，得，即数列的前项是负数，第项及以后的项都为非负数设，分别表示数列和的前项之和，当时，当时，数列的前项和方法规律总结已知为等差数列，求数列的前项和的步骤第步，解不等式或寻找的正负项分界点第二步，求和，若各项均为正数或均为负数，则各项的和等于的各项的和或其相反数若，这时数列只有前面有限项为正数或负数可分段求和再相加设等差数列的前项和为求求„解析为等差数列为的前项和，由得则当时，„当时，„综上所述......”。

7、“.....求数列的前项和错解，数列的前项和„辨析错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项正解，数列的前项和„警示运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪项相加消去的，找出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项错项的错误等差数列前项和等差数列前项和与二次函数的关系等差数列前项和与二次函数的关系及最值的求法裂项拆项相消法求数列前项和成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修数列第二章等差数列的前项和第二章第课时等差数列前项和公式的应用课堂探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案掌握等差数列前项和公式性质及其应用能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想北宋时期的科学家沈括在他的著作梦溪笔谈书中提出酒店里把酒瓶层层堆积，底层排成长方形，以上逐层的长宽各减少个，共堆层，堆成棱台的形状，沈括给出了个计算方法“隙积术”求酒瓶总数，沈括的这研究......”。

8、“.....当时，它是关于的函数二次等差数列的前项和定是的二次函数吗若是的前项和，是的二次函数时，定是等差数列吗我们已知二次函数有最大或最小值，那么等差数列的前项和有无最大或最小值什么情况下存在最值等差数列前项和的最值的求法在等差数列中，当，时，有最小值可以用下列方法求的最值通项法当，时，满足的，使取最小值借助二次函数最值求法若等差数列的前项和，则当，时，当时，取到最小值，∉时，设距离最近的自然数为，则当时，取到最小值当，时，在时，取到最大值，∉时，若到距离最小的自然数为，则当时，取到最大值设等差数列的前项和为若则当取最小值时，等于答案解析设等差数列的公差为得，又，故当时，取得最小值，故选若，则当时，其前项和有最小值答案解析由得由于，当时时取到最小值若，则答案解析时当时，在等差数列中，则其前项和的最大值为答案解析解法由，得，解得，当时，有最大值解法二先求出同解法，由，得，当时......”。

9、“.....计算下列各式的值，你发现了什么若数列共有项，通项，其奇数项和为奇，偶数项和偶，奇与偶具有什么关系等差数列和的前项和分别为计算你发现了什么等差数列前项和的其它性质设等差数列若项数为，则，为中间两项，且偶奇若项数为，则为中间项，且奇偶等差数列的前项和为，若则答案解析由等差数列的性质知，成等差数列，与均为等差数列，其前项和分别为与，则答案解析等差数列共有项，其奇数项的和为，偶数项的和为，则答案解析由题意知，课堂探究学案等差数列中该数列前多少项的和最小等差数列的最值问题解析解法设等差数列的公差为，则由题意得，有最小值又，或时，取最小值解法二同解法，由得，设，解得取或时，取最小值解法三，前项或前项和最小点评解法利用等差数列前项和是的二次函数公差时，通过二次函数求最值的方法求解解法二利用等差数列的性质由，从而数列中必存在项且以找出正负项的分界点解法三利用及等差数列的性质要注意体会各种解法的着眼点......”。