1、“.....然后加满水，再倒出混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第次操作后溶液的浓度是多少当时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于解析开始的浓度为，操作次后溶液的浓度是投操作次后溶液的浓度是，则操作次后溶液的浓度是所以构成以为首项，为公比的等比数列所以，即第次操作后溶液的浓度是当时，由，得因此，至少应倒次后才可以使酒精浓度低于等比数列的前三项的和为求的等比中项错解设该等比数列的公比为，首项为，由已知，得，，由除以，得，的等比中项为，的等比中项为辨析错误的原因在于认为，的等比中项是，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数正解设该等比数列的公比为，首项为，由已知，得知为与的关系式，利用可将其转化为的关系式，从而获得数列的特征解析证明由已知，有故又为非零常数，⇔为等比数列设数列的前项和为，已知，设，证明数列是等比数列求数列的通项公式分析题中已方法定义法常数或常数⇔为等比数列等比中项法，⇔为等比数列通项法其中......”。

2、“.....公比为的等比数列即，方法规律总结判定数列是等比数列的常用，故只须将条件式变换为与的关系式即可获证只要求出了的通项公式，就可以求出的通项公式解析证明，即满足求证是等比数列求的通项公式等比数列的判定与证明分析欲证是等比数列，须证为常数，又即，方法规律总结求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式样，运用方程的思想，建立基本量的方程或方程组求解，在，四个量中，已知三个可求另个已知数列意，得由得设公比为，由题意，得由得，又时，故，或在等比数列中，若则若，则答案解析设公比为，由题或当时当时解法二从而，解之得或当时当由等比数列的定义知代入已知得，，即，由得，代入得个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写成与的关系式即可由等比中项的定义知，是与的等比中项，故可先由求得，再解关于与的方程组，即可获解等比数列的通项公式解析解法或课堂探究学案已知等比数列......”。

3、“.....故需建立与的两上，因此可以利用函数思想研究等比数列已知等比数列中，则答案或解析设公比为，则数列中，若已知，四个量中的三个，就可以求出另个量等比数列的通项公式可以变形为，当且时，等比数列中各项所表示的点，孤立地分布在曲线„注意等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到般的思想已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意项在等比，将以上这个式子相乘，得„迭代法数列是等比数列将以上这个式子相乘，得„迭代法数列是等比数列，„注意等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到般的思想已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意项在等比数列中，若已知，四个量中的三个，就可以求出另个量等比数列的通项公式可以变形为，当且时，等比数列中各项所表示的点，孤立地分布在曲线上，因此可以利用函数思想研究等比数列已知等比数列中，则答案或解析设公比为，则或课堂探究学案已知等比数列，若求分析在等比数列的通项公式中含有两个待定系数和，故需建立与的两个方程......”。

4、“.....因此只需将已知条件改写成与的关系式即可由等比中项的定义知，是与的等比中项，故可先由求得，再解关于与的方程组，即可获解等比数列的通项公式解析解法由等比数列的定义知代入已知得，，即，由得，代入得或当时当时解法二从而，解之得或当时当时，故，或在等比数列中，若则若，则答案解析设公比为，由题意，得由得设公比为，由题意，得由得，又，即，方法规律总结求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式样，运用方程的思想，建立基本量的方程或方程组求解，在，四个量中，已知三个可求另个已知数列满足求证是等比数列求的通项公式等比数列的判定与证明分析欲证是等比数列，须证为常数，又故只须将条件式变换为与的关系式即可获证只要求出了的通项公式，就可以求出的通项公式解析证明，即，是等比数列由知是首项，公比为的等比数列即，方法规律总结判定数列是等比数列的常用方法定义法常数或常数⇔为等比数列等比中项法......”。

5、“.....⇔为等比数列设数列的前项和为，已知，设，证明数列是等比数列求数列的通项公式分析题中已知为与的关系式，利用可将其转化为的关系式，从而获得数列的特征解析证明由已知，有故又，于是，即因此数列是首项为，公比为的等比数列由知等比数列中公比，所以于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列所以等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前项之和是答案等比中项解析设公差为，由题意得，故选方法规律总结等比中项的应用主要有两点计算，与其它性质综合应用，起到简化计算提高解题速度的作用用来判数，又故只须将条件式变换为与的关系式即可获证只要求出了的通项公式，就可以求出的通项公式解析证明，即，是等比数列由知是首项，公比为的等比数列即，方法规律总结判定数列是等比数列的常用方法定义法常数或常数⇔为等比数列等比中项法，⇔为等比数列通项法其中为非零常数，⇔为等比数列设数列的前项和为，已知，设，证明数列是等比数列求数列的通项公式分析题中已知为与的关系式......”。

6、“.....从而获得数列的特征解析证明由已知，有故又，于是，即因此数列是首项为，公比为的等比数列由知等比数列中公比，所以于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列所以等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前项之和是答案等比中项解析设公差为，由题意得，故选方法规律总结等比中项的应用主要有两点计算，与其它性质综合应用，起到简化计算提高解题速度的作用用来判断或证明等比数列等差数列中，公差，且是和的等比中项，则答案解析由题意知，是和的等比中项，解得，人买了辆价值万元的新车，专家预测这种车每年按的速度贬值用个式子表示第年这辆车的价值如果他打算用满年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱分析根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决数列的实际应用题解析从第年起，每年车的价值万元依次设为，„由题意，得，„由等比数列定义，知数列是等比数列，首项，公比，第年车的价值为万元当他用满年时，车的价值为用满年时卖掉时......”。

7、“.....建立数列模型分析实际问题的结构特征找出所含元素的数量关系确定为何种数列模型解模利用相关的数列知识加以解决分清首项公差项数等分清是还是问题选用适当的方法求解还原把数学问题的解还原为实际问题，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解容积为的容器盛满酒精后倒出，然后加满水，再倒出混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第次操作后溶液的浓度是多少当时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于解析开始的浓度为，操作次后溶液的浓度是投操作次后溶液的浓度是，则操作次后溶液的浓度是所以构成以为首项，为公比的等比数列所以，即第次操作后溶液的浓度是当时，由，得因此，至少应倒次后才可以使酒精浓度低于等比数列的前三项的和为求的等比中项错解设该等比数列的公比为，首项为，由已知，得，，由除以，得，的等比中项为，的等比中项为辨析错误的原因在于认为，的等比中项是......”。

8、“.....首项为，由已知，得，，由得令是的等比中项，则应有，的等比中项是警示解答有关等比数列问题中有几个应当特别注意的地方各项均不为时，各项正负交替出现同号两数的等比中项有个应注意放在实际问题情景中判断是个还是两个注意的情形等比数列满足则，的等比中项为答案解析设等比数列的公比为，首项为解得，或，舍令是，的等比中项，则应有，所以，的等比中项是易错防范误认为，的等比中项是，故要明确同号两数的等比中项有两个且互为相反数，若为，的等比中项，则等比数列的概念等比数列的定义等比中项等比数列的判定方法等比数列的通项公式等比数列的通项公式等比数列通项公式的推导方法等比数列通项公式的推广形式等比数列成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修数列第二章等比数列第二章第课时等比数列的概念与通项公式课堂探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案理解等比数列的定义......”。

9、“.....体会等比数列的通项公式与指数函数的关系掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题我们古代数学名著孙子算经中有个有趣的问题叫“出门望九堤”“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列还记得等差数列的定义吗从起，每项与其前项的差的数列，称为等差数列等差数列的通项公式，是关于的还记得指数型函数吗第项等于同个常数次函数式且观察下面几个数列，„„„„关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每个格子里的麦粒都是前个格子的麦粒数的倍，且共有个格子，各个格子里的麦粒数依次是„人年初投资元，如果年收益率是，那么按照复利，年内各年末的本利和依次为，„它们是等差数列吗计算上述每个数列从第二项起每项与其前项的比值，你有什么发现它们有无共同的规律你能归纳它们的共同规律给这类数列个统的定义吗等比数列的定义般地......”。