1、面角的大小关系是•相等互补•相等或互补大小关系不确定•答案•解析可作出这两个二面角的平面角，易知这两个平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补•已知，斜边⊂，点∉，⊥，为垂足，，，求二面角的大小分析在内过作⊥，连接⊥为二面角的平面角解求角•解析如图所示，在平面内，过作⊥，垂足为，连接•设，⊥，⊂，•⊥又∩，⊥平面•而⊂平面，•⊥，是二面角的题设条件有三个是直角三角形，⊥是正三角形是的中点，解答本题，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于首先应作出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答小题的关键是用等体积法求解解析证明是的中点，是正三角形，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面⊥，且⊥，是二面角的平面角由知⊥平面，则⊥，为的中点，为的中点，綊，且，由知⊥平面，⊥平面•辽宁如图，是。

2、交线所成的角，即为二面角的平面角•如图所示，的棱上找个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线•如图所示，为二面角的平面角•方法二垂线法过二面的个面内点作另个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面所以所以二面角的平面角的度数为•规律总结求二面角大小的步骤•简称为“作二证三求”作平面角时，定要注意顶点的选择•作二面角的平面角的方法•方法定义法在二面角∩，所以⊥平面所以⊥设，则，所以所以，所以所以知≌，则，从而≌所以，且所以为二面角的平面角又⊥平面，所以⊥又⊥，为二面角的平面角•又四边形为正方形，所以•所以二面角的平面角的度数为作⊥于，连接且与交于点，连接，如图由题意所以⊥，⊥所以为二面角的平面角又由题意知，所以二面角的平面角的度数为•因为⊥平面，所以⊥，⊥所以四边形为正方形，所以⊥又∩，•所以⊥平面•又⊂。

3、作⊥于，连接且与交于点，连接，如图由题意知≌，则，从而≌所以，且所以为二面角的平面角又⊥平面，所以⊥又⊥，∩，所以⊥平面所以⊥设，则，所以所以，所以所以所以所以二面角的平面角的度数为•规律总结求二面角大小的步骤•简称为“作二证三求”作平面角时，定要注意顶点的选择•作二面角的平面角的方法•方法定义法在二面角的棱上找个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线•如图所示，为二面角的平面角•方法二垂线法过二面的个面内点作另个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角•如图所示，为二面角的平面角•方法三垂面法过棱上点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角•如图所示，为二面角的平面角•如果个二面角的两个半平面与另个二面角的两个半平面分别平行，则这两个。

4、，⊥•又∩，⊥平面•又⊂平面，⊥，•为二面角的平面角•以下略•错因分析点的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出在找二面角的平面角时，般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角正解，，，即⊥又⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，⊥，是二面角的平面角在中，⊥，故二面角的大小为•如图所示，在中，⊥，⊥平面，垂直平分，且分别交，于点又求二面角的大小•解析⊥平面，•⊥，⊥，⊥，⊥•由已知得⊥，•⊥，⊥平面，•为二面角的平面角•如果个二面角的两个半平面与另个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是•相等互补•相等或互补大小关系不确定•答案•解析可作角的平面角或其补角•如图所示，为二面角的平面角•方法三垂面法过棱上点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条。

5、是在其中个平面内寻找直线与另平面垂直•如图所示，已知中，，为所在平面外点，求证平面⊥平面分析设在平面内射影为，为的外心，即中点•证明取中点，连接，因为所以⊥因为，所以又所以≌，所以，即⊥所以⊥平面因为⊂平面，所以平面⊥平面•四边形是正方形，⊥平面，且•求二面角的平面角的度数•求二面角的平面角的度数•求二面角的平面角的度数•求二面角的平面角的度数求二面角的大小•探究求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解•解析因为⊥平面，所以⊥因为四边形为正方形，所以⊥又∩，•所以⊥平面•又⊂平面，所以平面⊥平面•所以二面角的平面角的度数为•因为⊥平面，所以⊥，⊥所以为二面角的平面角又由题意知，所以二面角的平面角的度数为•因为⊥平面，所以⊥，⊥所以为二面角的平面角•又四边形为正方形，所以•所以二面角的平面角的度数为。

6、圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点•求证平面⊥平面•若，求二面角的余弦值•分析要证面面垂直，只要证明平面内的直线垂直于平面要求二面角的余弦值，先作出它的平面角，再证明，最后计算•解析证明由是圆的直径，得⊥，•由⊥平面，⊂平面，得⊥•又∩，⊂平面，⊂平面，•所以⊥平面•因为⊂平面，所以平面⊥平面如图所示，过作⊥于，因为⊥平面，⊂平面，所以⊥，故⊥平面过作⊥于，连接，得⊥，所以为二面角的平面角在中，由得在中，由得因为，所以，故又在中故所以二面角的余弦值为易错点不能正确找出二面角的平面角误区警示如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，⊥平面，且求二面角的大小•错解过在底面内作⊥于，连接•⊥平面，⊂平面，⊥•又∩，⊥平面•又⊂平面，⊥，•为二面角的平面角•以下略•错因分析点的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三。

7、平面，所以平面⊥平面•所以二面角的平面角的度数为•因为⊥平面，的平面角的度数•求二面角的平面角的度数求二面角的大小•探究求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解•解析因为⊥平面，所以⊥因为，所以平面⊥平面•四边形是正方形，⊥平面，且•求二面角的平面角的度数•求二面角的平面角的度数•求二面角因为所以⊥因为，所以又所以≌，所以，即⊥所以⊥平面因为⊂平面面外点，求证平面⊥平面分析设在平面内射影为，为的外心，即中点•证明取中点，连接，要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中个平面内寻找直线与另平面垂直•如图所示，已知中，，为所在平以⊥平面，因为⊂平面，所以平面⊥平面•规律总结证明平面与平面垂直的方法•根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把。

8、线平面垂直的判定及其性质第二章平面与平面垂直的判定高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习•直线与平面垂直的判定方法定义判定定理即⊥，⊥，⊂，⊂则⊥•两平面的位置关系•角的定义从平面内点出发的两条所成的图形•线面角的定义条直线与它在平面内的所成的锐角或直角知识衔接∩平行与相交射线射影•正方体中，直线与平面所成的角等于•••答案•如右图，和都是以为直角顶点的直角三角形，且，，则直线⊥平面直线⊥平面直线⊥平面•答案•二面角自主预习概念平面内的条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为从条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的图示半平面半平面棱面平面角文字在二面角的棱上任取点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于的射线，则这两条射线构成的叫做这个二面角的平面角图示符号⊂，⊂，。

9、问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理⊂平面，所以⊥又，为的中点，所以在中同理，又，所以，从而⊥又∩，所，是棱的中点证明平面⊥平面•探究证面面垂直关键让线面垂直，找平面的垂线•平面的垂线是谁面面垂直的判定互动探究证明由长方体的性质可知⊥平面，又⊂，是棱的中点证明平面⊥平面•探究证面面垂直关键让线面垂直，找平面的垂线•平面的垂线是谁面面垂直的判定互动探究证明由长方体的性质可知⊥平面，又⊂平面，所以⊥又，为的中点，所以在中同理，又，所以，从而⊥又∩，所以⊥平面，因为⊂平面，所以平面⊥平面•规律总结证明平面与平面垂直的方法•根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点。

10、•对对•对对•答案•解析平面和平面平面和平面平面和平面平面和平面平面和平面，故选•如图，正方体中，截面与底面所成二面角的正切值等于答案解析连交于点，连，为中点，在中，⊥又在正方形中，⊥，为二面角的平面角设，则，•如图，在四棱锥中，若⊥平面且是菱形求证平面⊥平面•分析证明本题的关键是在其中个平面内找条直线垂直于另个平面•证明⊥平面，⊂平面，•⊥•是菱形，⊥•又∩，⊥平面•又⊂平面，•平面⊥平面•点评证明平面与平面垂直的方法•面面垂直的定义法证明平面角为直角•面面垂直的判定定理在个面内找另个面的垂线•根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，即要证明面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中个平面内寻找直线与另平面垂直点直线平面之间的位置关系第二章直。

11、∩，，⊥，⊥⇒是二面角的平面角范围，棱角平面角规定二面角的大小可以用它的来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是的二面角叫做直二面角记法棱为，面分别为，的二面角记为如图所示，也可在，内棱以外的半平面部分分别取点将这个二面角记作二面角平面角直角•破疑点二面角是从空间条直线出发的两个半平面所组成的图形平面角可以把角理解为个旋转量，二面角也可以看作是个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角定量地反映了两个相交平面的位置关系•知识拓展二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯确定的，与选择棱上的点的位置无关•平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直•平面与平面垂直•定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作•画法两个互。

12、垂线法直接作出在找二面角的平面角时，般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角正解，，，即⊥又⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，⊥，是二面角的平面角在中，⊥，故二面角的大小为•如图所示，在中，⊥，⊥平面，垂直平分，且分别交，于点又求二面角的大小•解析⊥平面，•⊥，⊥，⊥，⊥•由已知得⊥，•⊥，⊥平面，•⊥•又⊥，∩，•⊥平面，⊥，⊥，即是二面角的平面角设，则，而⊥，⊥在中，，，即二面角的大小为当堂检测•二面角是指•个平面绕这个平面内的条直线旋转所组成的图形•个半平面与另个半平面组成的图形•从条直线出发的两个半平面组成的图形•两个相交的平行四边形组成的图形•答案•以下角异面直线所成角直线和平面所成角二面角的平面角，可能为钝角的有•个个•个个•答案•如图，已知⊥矩形所在的平面，则图中互相垂直的平面有•。

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