度的方法先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求，即得所求距离栏目链接►变式训练已知在平行六面体中，同顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为解析因为所以，所以答案题型三利用数量积证明垂直问题栏目链接例如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，分别是，的中点，求证⊥所以，即⊥，又已知⊥，∩，所以⊥平面栏目链接析疑难求证⊥平面证明设，则，由于规律方法用向量法证明垂直的方法把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明栏目链接►变式训练如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，，所以⊥，即⊥同理可证⊥型三利用数量积证明垂直问题栏目链接例如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，分别是，的中点，求证⊥，⊥证明所以，所以答案题，即得所求距离栏目链接►变式训练已知在平行六面体中，同顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为解析因为，所以规律方法求两点间的距离或条线段的长度的方法先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求⊥平面证明设，则，由于证明垂直的方法把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明栏目链接►变式训练如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，求证，所以⊥，即⊥同理可证⊥规律方法用向量法直问题栏目链接例如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，分别是，的中点，求证⊥，⊥证明，所以答案题型三利用数量积证明垂链接►变式训练已知在平行六面体中，同顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为解析因为所以，所以规律方法求两点间的距离或条线段的长度的方法先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求，即得所求距离栏目，所以栏目链接分别是的中点，求的长解析如图所示，设由题意得知，且因为分别是的中点，求的长解析如图所示，设由题意得知，且因为，所以栏目链接，所以规律方法求两点间的距离或条线段的长度的方法先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求，即得所求距离栏目链接►变式训练已知在平行六面体中，同顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为解析因为所以，所以答案题型三利用数量积证明垂直问题栏目链接例如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，分别是，的中点，求证⊥，⊥证明，所以⊥，即⊥同理可证⊥规律方法用向量法证明垂直的方法把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明栏目链接►变式训练如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，求证⊥平面证明设，则，由于，所以规律方法求两点间的距离或条线段的长度的方法先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求，即得所求距离栏目链接►变式训练已知在平行六面体中，同顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为解析因为所以，所以答案题型三利用数量积证明垂直问题栏目链接例如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，分别是，的中点，求证⊥，⊥证明，所以⊥，即⊥同理可证⊥规律方法用向量法证明垂直的方法把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明栏目链接►变式训练如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，求证⊥平面证明设，则，由于所以，即⊥，又已知⊥，∩，所以⊥平面栏目链接析疑难提能力栏目链接对向量的夹角与异面直线的夹角理解不透致误典例在四面体中，各棱长都相等，分别为，的中点，求异面直线与所夹角的余弦值解析取，且，则又，异面直线与所成角的余弦值为栏目链接易错剖析两向量夹角的取值范围是异面直线所成的角的范围是异面直线所成的角为，方向向量为当，时，即当时，即，若混淆了以上概念，就会得出异面直线与所成角的余弦值为的错误结论空间向量的数量积运算栏目链接掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念性质和计算方法及运算规律掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中些简单的问题栏目链接研题型学习法题型利用数量积求夹角的余弦值栏目链接如图，在空间四边形中，，，求与所成角的余弦值解析因，所以栏目链接所以，即与所成角的余弦值为规律方法利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法根据已知条件在异面直线上取两个向量将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题利用数量积公式求向量夹角的余弦值异面直线所成角的余弦值等于向量的夹角余弦值的绝对值栏目链接►变式训练如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角解析不妨设正方体的棱长为，设，则而异面直线与所成的角为题型二利用数量积求距离栏目链接例正三棱柱的各棱长都为，分别是的中点，求的长解析如图所示，设由题意得知，且因为，所以栏目链接，所以规律方法求两点间的距离或条线段的长度的方法先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求，即得所求距离栏目链接►变式训练已知在平行六面体中，同顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为解析因为所以，所以答案题型三利用数量积证明垂直问题栏目链接例如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，分别是，的中点，求证⊥所以栏目链接链接►变式训练已知在平行六面体中，同顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为解析因为所以直问题栏目链接例如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，分别是，的中点，求证⊥，⊥证明证明垂直的方法把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明栏目链接►变式训练如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，求证，所以规律方法求两点间的距离或条线段的长度的方法先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求所以，所以答案题，所以⊥，即⊥同理可证⊥求证⊥平面证明设，则，由于度的方法先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求，即得所求距离栏目链接►变式训练已知在平行六面体中，同顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为解析因为所以，所以答案题型三利用数量积证明垂直问题栏目链接例如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，分别是，的中点，求证⊥，