所求直线方程为方法假设存在这样的点当点为圆与轴的左交点，时，当点为圆与轴的右交点，时依题意，，解得舍去或下面证明点，对于圆上任点，都有为常数设则，所以，从而为常数方法二假设存在这样的点使得为常数，则，所以，将代入得也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围解答由得圆心为因为圆的半径为，所以或其他量是存在的，然后把其存在性作为条件构造关系式，然后求解关系式中的量来确定其存在性变式如图，在平面直角坐标系中，点直线，设圆的半径为，圆心在直线上变式若圆心时，由解得舍去当时，由解得舍去所以这样的点不存在精要点评对于存在性问题，可先假设满足条件的点解得所以圆弧所在圆的方程为假设存在这样的点则由，得，即当个圆的方程，求解方程组解答由题意得圆弧所在圆的方程为令，解得又过点设圆弧所在圆方程为，则说明理由思维引导对于，先求得圆的方程，再求得点，的坐标，结合圆弧过点点设其般方程并求解对于，先假设满足条件的点存在，然后由条件可得个圆的方程，最后分别联立两成，两相接点，均在直线上圆弧的圆心是坐标原点，半径为圆弧过点，例求圆弧所在圆的方程曲线上是否存在点，满足若存在，指出有几个这样的点若不存在，请所以⊥如图，∽，所以，可得，是定值存在性问题例如图，在平面直角坐标系中，已知曲线由圆弧和圆弧相接而得所以，得，以下同方法变式方法三几何法连接并延长交于点，由题知为定值故是定值，且为方法二直线与圆相交，斜率必定存在，且不为，可设直线方程为由得，再由得，所以方法直线与圆相交，斜率必定存在，且不为，可设直线方程为由得，又因为直线与垂直，由，即直线为，符合题意若直线斜率存在，设直线的方程为，即由题意知，圆心，到已知直线的距离等于半径，即，解得所以所求直线方程为或相切，求直线的方程若与圆相交于，两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值若是，则求出定值若不是，请说明理由解答若直线的斜率不存在精要点评般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况变式已知圆，直线过定点，若与圆则，所以综上，与直线的斜率无关，且所以当的斜率存在时，设直线的方程为，则由得则所以当的斜率存在时，设直线的方程为，则由得则，所以综上，与直线的斜率无关，且精要点评般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况变式已知圆，直线过定点，若与圆相切，求直线的方程若与圆相交于，两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值若是，则求出定值若不是，请说明理由解答若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意若直线斜率存在，设直线的方程为，即由题意知，圆心，到已知直线的距离等于半径，即，解得所以所求直线方程为或方法直线与圆相交，斜率必定存在，且不为，可设直线方程为由得，又因为直线与垂直，由得，所以为定值故是定值，且为方法二直线与圆相交，斜率必定存在，且不为，可设直线方程为由得，再由得所以，得，以下同方法变式方法三几何法连接并延长交于点，由题知所以⊥如图，∽，所以，可得，是定值存在性问题例如图，在平面直角坐标系中，已知曲线由圆弧和圆弧相接而成，两相接点，均在直线上圆弧的圆心是坐标原点，半径为圆弧过点，例求圆弧所在圆的方程曲线上是否存在点，满足若存在，指出有几个这样的点若不存在，请说明理由思维引导对于，先求得圆的方程，再求得点，的坐标，结合圆弧过点点设其般方程并求解对于，先假设满足条件的点存在，然后由条件可得个圆的方程，最后分别联立两个圆的方程，求解方程组解答由题意得圆弧所在圆的方程为令，解得又过点设圆弧所在圆方程为，则解得所以圆弧所在圆的方程为假设存在这样的点则由，得，即当时，由解得舍去当时，由解得舍去所以这样的点不存在精要点评对于存在性问题，可先假设满足条件的点或其他量是存在的，然后把其存在性作为条件构造关系式，然后求解关系式中的量来确定其存在性变式如图，在平面直角坐标系中，点直线，设圆的半径为，圆心在直线上变式若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围解答由得圆心为因为圆的半径为，所以圆的方程为由题知切线的斜率定存在，设所求圆的切线方程为，即所以，所以，所以，所以或所以所求圆的切线方程为或，即或因为圆的圆心在直线上，所以设圆心为则圆的方程为又因为，所以设点则，整理得，设为圆所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点所以，由得∈由，得终上所述，实数的取值范围为，圆上点到直线的距离的最小值为答案解析圆心坐标为半径为因为圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为苏锡常镇宿迁调在平面直角坐标系中，已知圆，点是轴上的个动点分别切圆于，两点，则线段长的取值范围是答案，解析设，所以又，∈，∞，所以∈所以∈∈所以∈所以∈，已知点为圆上动点，当点在圆上运动时，的中点的轨迹方程是答案解析设点，为所求轨迹上任意点因为为的中点，所以即，又因为点在圆上，所以，故所求的轨迹方程为在平面直角坐标系中，二次函数∈与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆求圆的方程圆是否经过定点与的取值无关证明你的结论解答设所求圆的般方程为，令，得，这与是同个方程，故令，得，此方程有个根为，代入得，所以圆的方程为圆必过定点，理由如下原方程转化为，即解得，或，融会贯通融会贯通，从而外接圆的标准方程为，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„分整理得即令所以，舍去或，所以的外接圆恒过定点，„„„„„„„„„„„„分方法三设，则，„„„„„分因为所以„„„„„„分又设的外接圆的方程为，则有，„„„„„„„„分解得，所以的外接圆的方程为„„„„„„„„分整理得令所以，舍去或，所以的外接圆恒过定点，„„„„„„„„分精要点评在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的般方程的各自特点，灵活选用圆的方程形式解题时要注意运用圆的相关性质及数形结合思想对于定点问题，要考虑构建恒等式，继而求解方程组趁热打铁，事半功倍请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第页检测与评估第课直线与圆的综合问题填空题过直线上点作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，则点的坐标是过圆上点，的圆的切线方程为若圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围是若圆与圆∈相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长是若过点，的直线将圆形区域，分为两部分，且使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为盐城三模动直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，的值为已知圆的半径为为该圆的两条切线为两切点，那么的最小值为已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为则四边形的面积的最大值为二解答题已知个圆经过直线与圆的两个交点，且此圆面积有最小值，求此圆的方程已知直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程已知圆，点直线求与圆相切，且与直线垂直的直线方程在直线上为坐标原点存在定点不同于点，满足对于圆上任点，都有为常数，试求所有满足条件的点的坐标三选做题不要求解题过程，直接给出最终结果湖北卷已知直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则江西模拟已知实数，满足，那么的最大值为检测与评估答案第课直线与圆的综合问题，解析设则由已知可得为原点与切线的夹角为，则由可得，解析由，是圆上点，得，则圆的方程为设切线方程为，由题意得，解得，所以切线方程为∞，解析圆转化成，则圆心坐标为且由于圆关于直线对称，故，从而解析依题意得，且是直角三角形，，因此解析当圆心与点的连线和过点的直线垂直时，符合条件圆心与点连线的斜率，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为解析因为表示半圆，而，所以，此时为等腰直角三角形，从而点到的距离为，解得正值不合题意，舍去解析设，，则，当