截面，并充分利用它来分析解决问题栏目链接►跟踪训练用与球心距离为的平面去截球，若球的体积为，则所得截面圆的面积为解析设球的半径为，则，设截面圆的半径为，则截面圆的面积为答案题型二球的内切外切几何体栏目链接例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析作出截面图，分别求出三个球的半径设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所以有所以栏目链接球与正方体，栏目链接，设，则在中，在中解得，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为平面问题圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱体的对角线长，球答案题型三球的体积表面积的综合应用栏目链接例个直径为的圆柱形水桶中放入个铁球其侧棱垂直于底面已知该六棱柱的顶点都在同个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为解析设正六棱柱的底面边长为，则设正六棱柱的高为，由其体积知点在同个球面，则正方体的体对角线是球的直径球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长球与正方体的条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线栏目链接►跟踪训练个六棱柱的底面是正六边形面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图丙，所以有所以综上可得∶∶∶∶栏目链接点评解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面来分析下列结论常用正方体的个顶，如图甲，所以有所以栏目链接球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图乙，所以有所以正方体的各个顶点在球切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析作出截面图，分别求出三个球的半径设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面解析设球的半径为，则，设截面圆的半径为，则截面圆的面积为答案题型二球的内切外切几何体栏目链接例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相转化为平面问题圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题栏目链接►跟踪训练用与球心距离为的平面去截球，若球的体积为，则所得截面圆的面积为在中，在中解得，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题棱长球与正方体的条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线栏目链接►跟踪训练个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱，设，则∶∶∶栏目链接点评解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面来分析下列结论常用正方体的个顶点在同个球面，则正方体的体对角线是球的直径球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的，过球心作正方体的对角面得截面，如图乙，所以有所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图丙，所以有所以综上可得∶设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所以有所以栏目链接球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点答案题型二球的内切外切几何体栏目链接例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析作出截面图，分别求出三个球的半径来分析解决问题栏目链接►跟踪训练用与球心距离为的平面去截球，若球的体积为，则所得截面圆的面积为解析设球的半径为，则，设截面圆的半径为，则截面圆的面积为，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为平面问题圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它，栏目链接，设，则在中，在中解得栏目链接，设，则在中，在中解得，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为平面问题圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题栏目链接►跟踪训练用与球心距离为的平面去截球，若球的体积为，则所得截面圆的面积为解析设球的半径为，则，设截面圆的半径为，则截面圆的面积为答案题型二球的内切外切几何体栏目链接例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析作出截面图，分别求出三个球的半径设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所以有所以栏目链接球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图乙，所以有所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图丙，所以有所以综上可得∶∶∶∶栏目链接点评解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面来分析下列结论常用正方体的个顶点在同个球面，则正方体的体对角线是球的直径球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长球与正方体的条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线栏目链接►跟踪训练个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱，设，则在中，在中解得，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为平面问题圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题栏目链接►跟踪训练用与球心距离为的平面去截球，若球的体积为，则所得截面圆的面积为解析设球的半径为，则，设截面圆的半径为，则截面圆的面积为答案题型二球的内切外切几何体栏目链接例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析作出截面图，分别求出三个球的半径设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所以有所以栏目链接球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图乙，所以有所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图丙，所以有所以综上可得∶∶∶∶栏目链接点评解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面来分析下列结论常用正方体的个顶点在同个球面，则正方体的体对角线是球的直径球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长球与正方体的条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线栏目链接►跟踪训练个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱柱的顶点都在同个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为解析设正六棱柱的底面边长为，则设正六棱柱的高为，由其体积知正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱体的对角线长，球答案题型三球的体积表面积的综合应用栏目链接例个直径为的圆柱形水桶中放入个铁球，球全部没入水中后，水面升高，则此球的半径为解析答案栏目链接半径为的球中有内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是解析设圆柱的底面半径为，则侧当侧取得最大值时即则答案球的体积和表面积栏目链接了解球的表面积和体积的计算公式能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题栏目链接典例精析题型求球体积和表面积栏目链接例把球的表面积扩大到原来的倍，那么体积扩大为原来的倍倍倍倍解析设改变前后球的半径分别是则由条件可知答案点评确定个球的条件是球心位置和球的半径，已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积反过来，已知体积或表面积也可以求其半径栏目链接►跟踪训练若三个球的表面积之比是∶∶，则它们的体积之比是解析∶∶∶∶，∶∶∶∶∶∶答案∶∶栏目链接例个球内有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积解析当截面在球心的同侧时，图甲所示为球的轴截面，由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心，则⊥，⊥设球的半径为，设，则栏目链接在中在中，解得球球的表面积为当截面在球心的两侧时，图乙所示为球的轴截面，由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心，则⊥，⊥设球的半径为，栏目链接，设，则在中，在中解得，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为平面问题圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题栏目链接►跟踪训练用与球心距离为的平面去截球，若球的体积为，则所得截面圆的面积为解析设球的半径为，则，设截面圆的半径为，则截面圆的面积为答案题型二球的内切外切几何体栏目链接例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析作出截面图，分别求出三个球的半径设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所以有所以栏目链接球与正方体，栏目链接，设，则在中，在中解得，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为平面问题圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题栏目链接►跟踪训练用与球心距离为的平面去截球，若球的体积为，则所得截面圆的面积为解析设球的半径为，则，设截面圆的半径为，则截面圆的面积为答案题型二球的内切外切几何体栏目链接例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析作出截面图，分别求出三个球的半径设正方体的棱长为正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所以有所以栏目链接球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图乙，所以有所以正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图丙，所以有所以综上可得∶∶∶∶栏目链接点评解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面来分析下列结论常用正方体的个顶点在同个球面，则正方体的体对角线是球的直径球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长球与正方体的条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线栏目链接►跟踪训练个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为点评球的轴截面过球心的截面是将球的问题立体几何问题转化为平面问题圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它答案题型二球的内切外切几何体栏目链接例有三个球，