过点，的圆的切线方程分析法，利用点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，由点斜式求切线方程法二，求切点坐标，利用过圆上点，的切线方程为求解解析解法设所求切线的方程为或，即或又圆心为半径，而圆心到切线的距离为，即，栏目链接所以所以方程为，即可验证为圆的切线故所求切线方程为或解法二设切点为则有切线方程为又切线过点所以而，在圆上，所以栏目链接解组成的方程组，得，或，代入，得或即或点评求过点的圆的切线方程时，要先检验下此点在圆上还是圆外，防止漏解若此点在圆上，切线只有条若此点在圆外，则切线定有两条，特别是斜率不存在的情况易忽视过圆上的点，的切线方程是必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立栏目链接项均有可能解析，所以题型四直线与圆的关系最值问题栏目链接例巧解题已知实数，满足求的最大值的最小值解析设，得，所以为，栏目链接直线被圆截得的弦长为解法二如图，设直线与圆交于，两点，弦的中点为，则⊥为坐标原点，所以截得的弦长解析解法直线和圆的公共点坐标就是方程组，的解解这个方程组，得，所以公共点的坐标为，别是处理直线与非圆二次曲线相交问题时，基本是用这种方法此外设点坐标，是解解析几何问题常用的方法，般点的坐标只需设出而不求，须认真体会栏目链接►跟踪训练求直线被圆时的弦长问题时常用的方法有两种是几何法，即利用弦心距半径及半弦构成的直角三角形并结合勾股定理来计算二是代数法，即利用根与系数关系和弦长公式来计算第二种方法是处理直线与二次曲线相交问题的通法，特，解之得栏目链接点评在解决有关圆的问题时，要充分利用圆的几何性质，比较两种解法，解法比解法二简单得多在处理直线与圆相交公式得，解之得解法二设弦的端点为联立方程组消去得栏目链接所以因此解法设直线被圆所截得的弦长为，其中点为，则为直角三角形因为圆的半径为，半弦长为，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式性质，构造直角三角形，结合勾股定理解之，也可以利用代数方法构造方程组，结合弦长公式求解不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可栏目链接解析式求解不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可栏目链接解析解法设直线被圆所截得的弦长为，其中点为，则为直角三角形因为圆的半径为，半弦长为条切线题型三直线与圆相交的问题栏目链接例已知直线被圆所截得的弦长为，求的值分析可以利用圆的几何性质，构造直角三角形，结合勾股定理解之，也可以利用代数方法构造方程组，结合弦长公，的切线方程是必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立栏目链接►跟踪训练圆的切线方程中有个是解析画出图形易看出轴是点评求过点的圆的切线方程时，要先检验下此点在圆上还是圆外，防止漏解若此点在圆上，切线只有条若此点在圆外，则切线定有两条，特别是斜率不存在的情况易忽视过圆上的点为又切线过点所以而，在圆上，所以栏目链接解组成的方程组，得，或，代入，得或即或距离为，即，栏目链接所以所以方程为，即可验证为圆的切线故所求切线方程为或解法二设切点为则有切线方程求切线方程法二，求切点坐标，利用过圆上点，的切线方程为求解解析解法设所求切线的方程为或，即或又圆心为半径，而圆心到切线的项均有可能解析，所以点，在圆内部，故选题型二圆的切线方程栏目链接例求过点，的圆的切线方程分析法，利用点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，由点斜式求项均有可能解析，所以点，在圆内部，故选题型二圆的切线方程栏目链接例求过点，的圆的切线方程分析法，利用点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，由点斜式求切线方程法二，求切点坐标，利用过圆上点，的切线方程为求解解析解法设所求切线的方程为或，即或又圆心为半径，而圆心到切线的距离为，即，栏目链接所以所以方程为，即可验证为圆的切线故所求切线方程为或解法二设切点为则有切线方程为又切线过点所以而，在圆上，所以栏目链接解组成的方程组，得，或，代入，得或即或点评求过点的圆的切线方程时，要先检验下此点在圆上还是圆外，防止漏解若此点在圆上，切线只有条若此点在圆外，则切线定有两条，特别是斜率不存在的情况易忽视过圆上的点，的切线方程是必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立栏目链接►跟踪训练圆的切线方程中有个是解析画出图形易看出轴是条切线题型三直线与圆相交的问题栏目链接例已知直线被圆所截得的弦长为，求的值分析可以利用圆的几何性质，构造直角三角形，结合勾股定理解之，也可以利用代数方法构造方程组，结合弦长公式求解不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可栏目链接解析解法设直线被圆所截得的弦长为，其中点为，则为直角三角形因为圆的半径为，半弦长为，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式性质，构造直角三角形，结合勾股定理解之，也可以利用代数方法构造方程组，结合弦长公式求解不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可栏目链接解析解法设直线被圆所截得的弦长为，其中点为，则为直角三角形因为圆的半径为，半弦长为，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，解之得解法二设弦的端点为联立方程组消去得栏目链接所以因此，解之得栏目链接点评在解决有关圆的问题时，要充分利用圆的几何性质，比较两种解法，解法比解法二简单得多在处理直线与圆相交时的弦长问题时常用的方法有两种是几何法，即利用弦心距半径及半弦构成的直角三角形并结合勾股定理来计算二是代数法，即利用根与系数关系和弦长公式来计算第二种方法是处理直线与二次曲线相交问题的通法，特别是处理直线与非圆二次曲线相交问题时，基本是用这种方法此外设点坐标，是解解析几何问题常用的方法，般点的坐标只需设出而不求，须认真体会栏目链接►跟踪训练求直线被圆截得的弦长解析解法直线和圆的公共点坐标就是方程组，的解解这个方程组，得，所以公共点的坐标为栏目链接直线被圆截得的弦长为解法二如图，设直线与圆交于，两点，弦的中点为，则⊥为坐标原点，所以，所以题型四直线与圆的关系最值问题栏目链接例巧解题已知实数，满足求的最大值的最小值解析设，得，所以为过原点的直线的斜率方程表示以，为圆心，半径为的圆，如图所示当直线与已知圆相切且切点在第象限时，最大，此时所以在中，，所以的最大值为栏目链接设，即为直线，为该直线在轴上的截距，如上图所示当直线与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切，且切点在第四象限时最小，此时圆心，到直线的距离为，即，得或舍去，所以的最小值为点评求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率截距距离是常用的方法栏目链接►跟踪训练圆上的点到直线的距离的最大值为直线与圆的位置关系栏目链接理解和掌握直线与圆的位置关系会用代数和几何方法判断直线和圆的位置关系利用直线与圆的位置关系解决些实际问题栏目链接典例精析题型栏目链接例已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点只有个公共点没有公共点解析本题可用代数法和几何法两种方法解，我们选用几何法圆心，到直线的距离为，圆的半径当，即时，直线与圆相交，有两个公共点当，即或时，直线与圆相切，有个公共点栏目链接当，即或时，直线与圆相离当时，直线与圆相切当时，直线与圆相交栏目链接►跟踪训练直线与圆的位置关系是相离相切相交且过圆心相交但不过圆心解析圆心，在直线上，即直线与圆相交且过圆心，故选栏目链接若直线与圆恒有两个交点，则实数的取值范围为，，，，解析由题意可知，即此不等式恒成立，故选或直线过定点定点，在圆上由于斜率存在，故总有两个交点栏目链接直线被圆截得的弦长等于解析直线过圆心，被圆所截得的弦长恰为圆的直径，故选栏目链接已知圆，为过点，的直线，则与与相交与与相切与与相离以上三个选项均有可能解析，所以点，在圆内部，故选题型二圆的切线方程栏目链接例求过点，的圆的切线方程分析法，利用点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，由点斜式求切线方程法二，求切点坐标，利用过圆上点，的切线方程为求解解析解法设所求切线的方程为或，即或又圆心为半径，而圆心到切线的距离为，即，栏目链接所以所以方程为，即可验证为圆的切线故所求切线方程为或解法二设切点为则有切线方程为又切线过点所以而，在圆上，所以栏目链接解组成的方程组，得，或，代入，得或即或点评求过点的圆的切线方程时，要先检验下此点在圆上还是圆外，防止漏解若此点在圆上，切线只有条若此点在圆外，则切线定有两条，特别是斜率不存在的情况易忽视过圆上的点，的切线方程是必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立栏目链接项均有可能解析，所以点，在圆内部，故选题型二圆的切线方程栏目链接例求过点，的圆的切线方程分析法，利用点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，由点斜式求切线方程法二，求切点坐标，利用过圆上点，的切线方程为求解解析解法设所求切线的方程为或，即或又圆心为半径，而圆心到切线的距离为，即，栏目链接所以所以方程为，即可验证为圆的切线故所求切线方程为或解法二设切点为则有切线方程为又切线过点所以而，在圆上，所以栏目链接解组成的方程组，得，或，代入，得或即或点评求过点的圆的切线方程时，要先检验下此点在圆上还是圆外，防止漏解若此点在圆上，切线只有条若此点在圆外，则切线定有两条，特别是斜率不存在的情况易忽视过圆上的点，的切线方程是必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立栏目链接►跟踪训练圆的切线方程中有个是解析画出图形易看出轴是条切线题型三直线与圆相交的问题栏目链接例已知直线被圆所截得的弦长为，求的值分析可以利用圆的几何性质，构造直角三角形，结合勾股定理解之，也可以利用代数方法构造方程组，结合弦长公式求解不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可栏目链接解析解法设直线被圆所截得的弦长为，其中点为，则为直角三角形因为圆的半径为，半弦长为，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式求切线方程法二，求切点坐标，利用过圆上点，的切线方程为求解解析解法设所求切线的方程为或，即或又圆心为半径，而圆心到切线的为又切线过点所以而，在圆上，所以栏目链接解组成的方程组，得，或，代入，得或即或，的切线方程是必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立栏目链接►跟踪训练圆的切线方程中有个是解析画出图形易看出轴是式求解不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可栏目链接解析解法设直线被圆所截得的弦长为，其中点为，则为直角三角形因为圆的半径为，半弦长为解法设直线被圆所截得的弦长为，其中点为，则为直角三角形因为圆的半径为，半弦长为，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离，解之得栏目链接点评在解决有关圆的问题时，要充分利用圆的几何性质，比较两种解法，解法比解法二简单得多在