，作圆与圆的直径相切于，圆与圆交于且与相交于求证平分证明以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图，设，则，圆，圆栏目链接两方程作差得直线的方程为令，得，即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程圆的方程，直线与圆圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释栏目链接►跟踪训练如图，直角的斜边长为定值，以斜边的中点为圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目为危险地区，城市在的正东千米处，城市处于危险区内的时间为小时小时小时小时解析建系后写出直线和圆的方程，求得解得，，点评充分利用式子的几何意义，可以减少运算量栏目链接►跟踪训练已知，是实数，且，求的最值的最值的最，栏目链接解法二几何法由题意知过圆心作直线的垂线，从垂足所引的圆的切线最短垂线所在直线的斜率为，又过圆心垂线的方程为，即由切线长最短，即点到圆心的距离最短，设圆心为，则，当时，最小此时切线最短点的坐标为定值题型三涉及圆的最大值的问题栏目链接例多解题在直线上求点，使向圆所引得的切线长为最短解析解法代数法圆化简为，以为坐标原点，以直线为轴，建立平面直角坐标系，于是有，设由已知，点在圆上对几何问题作出合理解释栏目链接►跟踪训练如图，直角的斜边长为定值，以斜边的中点为圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目链接解析如图圆的方程，直线与圆圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，栏目链接两方程作差得直线的方程为令，得，即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程，当时，最小此时切线最短点的坐则，圆，圆在直线上求点，使向圆所引得的切线长为最短解析解法代数法圆化简为，切线长最短，即点到圆心的距离最短，设圆心为，则，设由已知，点在圆上定值题型三涉及圆的最大值的问题栏目链接例多解题圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目链接解析如图，以为坐标原点，以直线为轴，建立平面直角坐标系，于是有何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释栏目链接►跟踪训练如图，直角的斜边长为定值，以斜边的中点为即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程圆的方程，直线与圆圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几则，圆，圆栏目链接两方程作差得直线的方程为令，得，在圆上任取点为圆心，作圆与圆的直径相切于，圆与圆交于且与相交于求证平分证明以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图，设，为危险地区，城市在的正东千米处，城市处于危险区内的时间为小时小时小时小时解析建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为千米，故处于危险区内的时间为小时题型二栏目链接例如图所示，在为危险地区，城市在的正东千米处，城市处于危险区内的时间为小时小时小时小时解析建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为千米，故处于危险区内的时间为小时题型二栏目链接例如图所示，在圆上任取点为圆心，作圆与圆的直径相切于，圆与圆交于且与相交于求证平分证明以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图，设，则，圆，圆栏目链接两方程作差得直线的方程为令，得，即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程圆的方程，直线与圆圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释栏目链接►跟踪训练如图，直角的斜边长为定值，以斜边的中点为圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目链接解析如图，以为坐标原点，以直线为轴，建立平面直角坐标系，于是有，设由已知，点在圆上定值题型三涉及圆的最大值的问题栏目链接例多解题在直线上求点，使向圆所引得的切线长为最短解析解法代数法圆化简为，切线长最短，即点到圆心的距离最短，设圆心为，则，当时，最小此时切线最短点的坐则，圆，圆栏目链接两方程作差得直线的方程为令，得，即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程圆的方程，直线与圆圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释栏目链接►跟踪训练如图，直角的斜边长为定值，以斜边的中点为圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目链接解析如图，以为坐标原点，以直线为轴，建立平面直角坐标系，于是有，设由已知，点在圆上定值题型三涉及圆的最大值的问题栏目链接例多解题在直线上求点，使向圆所引得的切线长为最短解析解法代数法圆化简为，切线长最短，即点到圆心的距离最短，设圆心为，则，当时，最小此时切线最短点的坐标为，栏目链接解法二几何法由题意知过圆心作直线的垂线，从垂足所引的圆的切线最短垂线所在直线的斜率为，又过圆心垂线的方程为，即由，解得，，点评充分利用式子的几何意义，可以减少运算量栏目链接►跟踪训练已知，是实数，且，求的最值的最值的最值的最值解析圆的方程可化为表示以点，为圆心，为半径的圆表示圆上的点，与坐标原点，连线的斜率故当为圆的切线时，可取得最值栏目链接的最大值为，最小值为设表示圆上的点，与坐标原点，连接的线段长的平方，故由平面几何知识，知为直线与圆的两交点，时，与分别为的最大值最小值的最大值为，最小值为令，当直线与圆相切时，在轴上截距取得最值，的最大值为，最小值为栏目链接令，当直线与圆相切时，在轴上截距的相反数取得最值，的最大值为，最小值为直线与圆的方程的应用栏目链接正确理解直线与圆的概念，能由直线与圆的位置关系解决简单的实际问题栏目链接典例精析题型直线与圆方程的实际应用栏目链接例市气象台测得今年第三号台风中心在市正东处，以的速度向西偏北方向移动，据测定，距台风中心的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间精确到分钟分析注意到受台风影响的范围是个圆，受台风影响的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定，故只要建立适当的坐标系，求出风向及圆形区域圆方程，然后利用弦长公式即可解决栏目链接解析以该市所在位置为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在，处，台风中心沿倾斜角为方向直线移动，其轨迹方程为该市受台风影响时，台风中心在圆内，设射线与圆交于则，所以台风中心到达点时，开始影响该市，中心移至点时，影响结束，作⊥于，则，栏目链接，则该市受台风影响的起始时间，即约分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间，即台风对该市的影响持续时间为小时点评要建立适当的坐标系，建系决定了运算的繁简程度因此，如何将实际问题转化为数学问题，如何建立适当的数学模型是解题的关键本题亦可直接求出弦长，则，即为台风对该市的持续影响时间栏目链接►跟踪训练台风中心从地的每小时千米的速度向东北方向移动，离台风中心千米内的地区为危险地区，城市在的正东千米处，城市处于危险区内的时间为小时小时小时小时解析建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为千米，故处于危险区内的时间为小时题型二栏目链接例如图所示，在圆上任取点为圆心，作圆与圆的直径相切于，圆与圆交于且与相交于求证平分证明以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图，设，则，圆，圆栏目链接两方程作差得直线的方程为令，得，即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程圆的方程，直线与圆圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释栏目链接►跟踪训练如图，直角的斜边长为定值，以斜边的中点为圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目为危险地区，城市在的正东千米处，城市处于危险区内的时间为小时小时小时小时解析建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为千米，故处于危险区内的时间为小时题型二栏目链接例如图所示，在圆上任取点为圆心，作圆与圆的直径相切于，圆与圆交于且与相交于求证平分证明以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图，设，则，圆，圆栏目链接两方程作差得直线的方程为令，得，即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程圆的方程，直线与圆圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释栏目链接►跟踪训练如图，直角的斜边长为定值，以斜边的中点为圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目链接解析如图，以为坐标原点，以直线为轴，建立平面直角坐标系，于是有，设由已知，点在圆上定值题型三涉及圆的最大值的问题栏目链接例多解题在直线上求点，使向圆所引得的切线长为最短解析解法代数法圆化简为，切线长最短，即点到圆心的距离最短，设圆心为，则，当时，最小此时切线最短点的坐在圆上任取点为圆心，作圆与圆的直径相切于，圆与圆交于且与相交于求证平分证明以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图，设，即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程圆的方程，直线与圆圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目链接解析如图，以为坐标原点，以直线为轴，建立平面直角坐标系，于是有在直线上求点，使向圆所引得的切线长为最短解析解法代数法圆化简为，切线长最短，即点到圆心的距离最短，设圆心为，则栏目链接两方程作差得直线的方程为令，得，即为中点，平分点评利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程对几何问题作出合理解释栏目链接►跟踪训练如图，直角的斜边长为定值，以斜边的中点为圆心作半径为的圆，的延长线交圆于，两点，求证为定值栏目链接解析如图定值题型三涉及圆的最大值的问题栏目链接例多解题在直线上求点，使向圆所引得的切线长为最短解析解法代数法圆化简