1、“.....与的夹角是锐角或若，与的夹角是钝角或反过来，若与的夹角是锐角，则若与的夹角是钝角，则练习已知向量，满足且，则与的夹角为解析设与的夹角为，则答案知识点三向量数量积的运算律阅读教材第二个“探究”及以下例以上内容，完成下列问题交换律结合律分配律练习正确的打，错误的打“”向量的数量积的运算结果是个向量若，则或若，则定有新视点名师博客关于向量数量积应注意的问题若向量与的夹角为，时，与同向，时，与反向，时，⊥求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移向量的数量积结果是个数量，所以向量与的夹角为即，即，所以设向量与的夹角为，则，设向量与的夹角为，则，则与的夹角是已知且，求与夹角已知，求向量与的夹角解析由题可得，积好求解类是与不好求，可采用寻求两者关系，无论哪类型，都用变形公式变式探究已知......”。

2、“.....⊥，，又点评求夹角题般有两种思路类是数量积与模与的夹角分析解析，为单位向量且夹角为，，由得，考点三向量的夹角问题例已知单位向量，的夹角为，求求已知求解析由已知即忘记开方向量数量积有关模的性质及作用或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化变式探究已知，与的夹角为，且点评此类求解模问题般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用，勿的夹角为，求分析根据已知条件将向量的模通过平方转化为向量的数量积的运算解析与夹角为，答案考点二求向量的模例已知与已知中，的对边分别为，求解析由题设知，且，所以应注意书写时与之间用“”连接，而不能用“”连接，也不能省去变式探究已知两个单位向量，的夹角为，若向量则的夹角点评求两向量数量积的步骤是求与的夹角分别求求数量积，即，它们的夹角......”。

3、“.....有在中，，故，且，与时，若与同向，则它们的夹角若与反向，则它们的夹角当⊥时，时，若与同向，则它们的夹角若与反向，则它们的夹角当⊥时，它们的夹角，当与的夹角是时，有在中，，故，且，与的夹角点评求两向量数量积的步骤是求与的夹角分别求求数量积，即应注意书写时与之间用“”连接，而不能用“”连接，也不能省去变式探究已知两个单位向量，的夹角为，若向量则已知中，的对边分别为，求解析由题设知，且，所以与夹角为，答案考点二求向量的模例已知与的夹角为，求分析根据已知条件将向量的模通过平方转化为向量的数量积的运算解析点评此类求解模问题般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用，勿忘记开方向量数量积有关模的性质及作用或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化变式探究已知，与的夹角为......”。

4、“.....由得，考点三向量的夹角问题例已知单位向量，的夹角为，求与的夹角分析解析，为单位向量且夹角为，，，又点评求夹角题般有两种思路类是数量积与模积好求解类是与不好求，可采用寻求两者关系，无论哪类型，都用变形公式变式探究已知，是非零向量且满足⊥，⊥，则与的夹角是已知且，求与夹角已知，求向量与的夹角解析由题可得，即，即，所以设向量与的夹角为，则，设向量与的夹角为，则，所以向量与的夹角为由，得，展开得，即已知所以，所以与的夹角为答案考点四向量数量积的综合运用例已知⊥，且若对两个不同时为零的实数，使得与垂直，试求的最小值分析转化向量条件，建立与的函数关系，利用函数性质求其最小值解析⊥又由已知得，故当时，取最小值点评根据题设条件，通过向量运算将变量从向量背景中分离出来......”。

5、“.....这是个数学问题的提炼过程若⊥，则变式探究已知向量，的夹角为设当为何值时，与垂直解析由已知得，若⊥，则，而即当时，与垂直新思维随堂自测设均为非零向量，给出下列结论若，则若，则上述结论中正确的是解析正确考虑特例，⇒正确结合律不定成立答案设向量，是单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影为解析投影为答案已知，且，则实数的值为解析，答案在中，，则等于解析如图故选答案已知向量满足，且则与的夹角为解析设，的夹角为答案辨错解走出误区易错点对向量的夹角理解不正确典例已知中，，求错解如图所示，因为，所以错因分析错解没有正确地理解向量夹角的含义，两向量与的始点不相同，所以它们的夹角并非角如图所示，其夹角应该是角的补角，即正解因为，所以反思根据图形求两个向量的数量积时......”。

6、“.....并能运用这些性质和运算律解决有关问题难点新知识预习探究知识点向量数量积的定义阅读教材，完成下列问题已知两个向量与我们把数量叫做向量与的，记作，即为，的夹角叫做向量在方向上在方向上的零向量与任向量的数量积为的几何意义数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积非零数量积或内积投影思考向量与的数量积是个向量还是个数量它的值与什么有关提示两个向量与的数量积是个数量，其值的大小与两个向量的长度及其夹角有关练习若向量，满足，与的夹角为，则等于解析答案知识点二向量数量积的性质阅读教材第二个“探究”以上的内容，完成下列问题⊥⇔当与同向时，当与反向时或思考若，与的夹角是锐角吗若......”。

7、“.....与的夹角是锐角或若，与的夹角是钝角或反过来，若与的夹角是锐角，则若与的夹角是钝角，则练习已知向量，满足且，则与的夹角为解析设与的夹角为，则答案知识点三向量数量积的运算律阅读教材第二个“探究”及以下例以上内容，完成下列问题交换律结合律分配律练习正确的打，错误的打“”向量的数量积的运算结果是个向量若，则或若，则定有新视点名师博客关于向量数量积应注意的问题若向量与的夹角为，时，与同向，时，与反向，时，⊥求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移向量的数量积结果是个数量，符号由的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替按照投影的定义，非零向量在方向上的投影为，其具体情况......”。

8、“.....可得当为锐角时且当为钝角时且当时，当时当时新课堂互动探究考点向量数量积的运算例已知当，⊥，与的夹角是时，分别求在中，，求分析根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角解析当时，若与同向，则它们的夹角若与反向，则它们的夹角当⊥时，它们的夹角，当与的夹角是时，有在中，，故，且，与的夹角点评求两向量数量积的步骤是求与的夹角分别求求数量积，即应注意书写时与之间用“”连接，而不能用“”连接，也不能省去变式探究已知两个单位向量，的夹角为，若向量则已知中，的对边分别为，求解析由题设知，且，所以时，若与同向，则它们的夹角若与反向，则它们的夹角当⊥时，它们的夹角，当与的夹角是时，有在中，，故，且，与的夹角点评求两向量数量积的步骤是求与的夹角分别求求数量积，即应注意书写时与之间用“”连接......”。

9、“.....也不能省去变式探究已知两个单位向量，的夹角为，若向量则已知中，的对边分别为，求解析由题设知，且，所以与夹角为，答案考点二求向量的模例已知与的夹角为，求分析根据已知条件将向量的模通过平方转化为向量的数量积的运算解析点评此类求解模问题般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用，勿忘记开方向量数量积有关模的性质及作用或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化变式探究已知，与的夹角为，且求已知求解析由已知即，由得，考点三向量的夹角问题例已知单位向量，的夹角为，求与的夹角分析解析，为单位向量且夹角为，，，又点评求夹角题般有两种思路类是数量积与模积好求解类是与不好求，可采用寻求两者关系，无论哪类型，都用变形公式变式探究已知，是非零向量且满足⊥，⊥......”。