，则若则⊥⇔若则知识点二向量夹角的坐标表示阅读教材，完成下列问题向量的夹角公式已知其夹角为，则练习已知则与的夹角为答案新视点名师博客三个重要公式对向量模长公式的理解模长公式是数量积的坐标表示的种特例，当时，则可得若点点则所以，即的实质是，两点间的距离或线段的长度，这也是模的几何意义新课堂互动探究考点平面向量数量积的坐标运算例已知向量,求，分析明确相应向量的坐标代入相应的运算法则结果解析,时，有最小值点评利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题致，利用坐标表示是把垂直条件代数代，从而使判定方法更加简捷运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想变式，又故当⊥由⊥，得，即，，，求证⊥若存在不等于的实数和，使，满足⊥，试求此时的最小值分析解析值解析，即考点二两向量垂直的坐标运算例已知向量的坐标，再用向量的数量积的坐标公式求解如果知道两个向量的坐标，可直接套用平面向量数量积的坐标运算公式求其数量积，不必利用定义去求数量积变式探究如果且，求的直接求出的值在内，由的值求角变式探究已知分别确定实数的取值范围，使得与的夹角为直角与的夹角为锐角解析设与的夹出，的夹角为点评利用向量的数量积求两向量夹角的般步骤为利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用计算出这两个向量的模由公式设，的夹角为，则，即的夹角的大小分析利用平行垂直列方程求先求，的坐标，再求夹角解析，⊥解得考点三两向量夹角的坐标运算例已知平面向量，且，⊥求与若求向量量，若为直角三角形，且为直角，求实数的值解析若为直角三角形，且为直角，则⊥，由已知有最小值点评利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题致，利用坐标表示是把垂直条件代数代，从而使判定方法更加简捷运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想变式探究已知向，又故当时，⊥由⊥，得，即，，，求证⊥若存在不等于的实数和，使，满足⊥，试求此时的最小值分析解析，即考点二两向量垂直的坐标运算例已知向量，即考点二两向量垂直的坐标运算例已知向量，，求证⊥若存在不等于的实数和，使，满足⊥，试求此时的最小值分析解析⊥由⊥，得，即，又故当时，有最小值点评利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题致，利用坐标表示是把垂直条件代数代，从而使判定方法更加简捷运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想变式探究已知向量，若为直角三角形，且为直角，求实数的值解析若为直角三角形，且为直角，则⊥，由已知，解得考点三两向量夹角的坐标运算例已知平面向量，且，⊥求与若求向量，的夹角的大小分析利用平行垂直列方程求先求，的坐标，再求夹角解析，⊥，设，的夹角为，则，即，的夹角为点评利用向量的数量积求两向量夹角的般步骤为利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用计算出这两个向量的模由公式直接求出的值在内，由的值求角变式探究已知分别确定实数的取值范围，使得与的夹角为直角与的夹角为锐角解析设与的夹出，的坐标，再用向量的数量积的坐标公式求解如果知道两个向量的坐标，可直接套用平面向量数量积的坐标运算公式求其数量积，不必利用定义去求数量积变式探究如果且，求的值解析，即考点二两向量垂直的坐标运算例已知向量，，求证⊥若存在不等于的实数和，使，满足⊥，试求此时的最小值分析解析⊥由⊥，得，即，又故当时，有最小值点评利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题致，利用坐标表示是把垂直条件代数代，从而使判定方法更加简捷运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想变式探究已知向量，若为直角三角形，且为直角，求实数的值解析若为直角三角形，且为直角，则⊥，由已知，解得考点三两向量夹角的坐标运算例已知平面向量，且，⊥求与若求向量，的夹角的大小分析利用平行垂直列方程求先求，的坐标，再求夹角解析，⊥，设，的夹角为，则，即，的夹角为点评利用向量的数量积求两向量夹角的般步骤为利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用计算出这两个向量的模由公式直接求出的值在内，由的值求角变式探究已知分别确定实数的取值范围，使得与的夹角为直角与的夹角为锐角解析设与的夹角为因为与的夹角为直角所以，所以，所以，所以因为与的夹角为锐角，所以且所以且与不同向由得，故，与的横坐标都是，当时，与方向相同，与的夹角为锐角，且考点四利用数量积的坐标表示求向量的模例已知若⊥，求，分析求出的坐标⊥列出关于的方程组求出，解析⊥，即，解之得答案点评本题关键是利用坐标运算及向量垂直的关系，列出方程求出未知参数，再利用向量模的定义求出向量的模变式探究平面向量与的夹角为则解析由已知，答案新思维随堂自测已知则等于解析,答案已知平面向量且⊥，则解析⇒答案设向量与的夹角为，且则解析设则，得则，，答案已知向量，若不超过，则的取值范围是解析因为所以令，解得答案已知平面向量若，则解析，答案辨错解走出误区易错点忽略共线条件典例黄冈中学月考题已知向量且与的夹角为钝角，试求实数的取值范围错解与的夹角为钝角，错因分析忽略了，共线反向的情况正解与的夹角为钝角，又当与反向共线时，夹角为，即，则解得，故排除反向共线的情形，即排除，所以实数的取值范围为，，目标导航掌握平面向量数量积的坐标表达式及其运算重点会用向量的坐标运算求解与向量模夹角垂直等相关问题难点新知识预习探究知识点平面向量数量积的坐标表示阅读教材，完成下列问题平面向量数量积的坐标表示设向量则即两个向量的数量积等于向量的模与两点间距离公式设则如果向量的起点坐标和终点坐标分别为那么两向量垂直的坐标表示设则⊥⇔它们对应坐标的乘积的和练习正确的打，错误的打“”若则若则⊥⇔若则知识点二向量夹角的坐标表示阅读教材，完成下列问题向量的夹角公式已知其夹角为，则练习已知则与的夹角为答案新视点名师博客三个重要公式对向量模长公式的理解模长公式是数量积的坐标表示的种特例，当时，则可得若点点则所以，即的实质是，两点间的距离或线段的长度，这也是模的几何意义新课堂互动探究考点平面向量数量积的坐标运算例已知向量,求，分析明确相应向量的坐标代入相应的运算法则结果解析,点评如果题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出，的坐标，再用向量的数量积的坐标公式求解如果知道两个向量的坐标，可直接套用平面向量数量积的坐标运算公式求其数量积，不必利用定义去求数量积变式探究如果且，求的值解析，即考点二两向量垂直的坐标运算例已知向量，，求证⊥若存在不等于的实数和，使，满足⊥，试求此时的最小值分析解析⊥由⊥，得，即，又故当时，有最小值点评利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题致，利用坐标表示是把垂直条件代数代，从而使判定方法更加简捷运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想变式探究已知向量，若为直角三角形，且为直角，求实数的值解析若为直角三角形，且为直角，则⊥，由已知，解得考点三两向量夹角的坐标运算例已知平面向量，且，⊥求与若求向量，即考点二两向量垂直的坐标运算例已知向量，，求证⊥若存在不等于的实数和，使，满足⊥，试求此时的最小值分析解析⊥由⊥，得，即，又故当时，有最小值点评利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题致，利用坐标表示是把垂直条件代数代，从而使判定方法更加简捷运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想变式探究已知向量，若为直角三角形，且为直角，求实数的值解析若为直角三角形，且为直角，则⊥，由已知，解得考点三两向量夹角的坐标运算例已知平面向量，且，⊥求与若求向量，的夹角的大小分析利用平行垂直列方程求先求，的坐标，再求夹角解析，⊥，设，的夹角为，则，即，的夹角为点评利用向量的数量积求两向量夹角的般步骤为利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用计算出这两个向量的模由公式直接求出的值在内，由的值求角变式探究已知分别确定实数的取值范围，使得与的夹角为直角与的夹角为锐角解析设与的夹，，求证⊥若存在不等于的实数和，使，满足⊥，试求此时的最小值分析解析，又故当时，量，若为直角三角形，且为直角，求实数的值解析若为直角三角形，且为直角，则⊥，由已知，的夹角的大小分析利用平行垂直列方程求先求，的坐标，再求夹角解析，⊥，的夹角为点评利用向量的数量积求两向量夹角的般步骤为利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用计算出这两个向量的模由公式的坐标，再用向量的数量积的坐标公式求解如果知道两个向量的坐标，可直接套用平面向量数量积的坐标运算公式求其数量积，不必利用定义去求数量积变式探究如果且，求的，，求证⊥若存在不等于的实数和，使，满足⊥，试求此时的最小值分析解析，又故当，则若则⊥⇔若则知识点二向量夹角的坐标表示阅读教材，完成下列问题向量的夹角公式已知其夹角为，则练习已知则与的夹角为答案新视点名师博客三个重要公式对向量模长公式的理解模长公式是数量积的坐标表示的种特例，当时，则可得若点点则所以，即的实质是，两点间的距离或线段的长度，这也是模的几何意义新课堂互动探究考点平面向量数量积的坐标运算例已知向量,求，分析明确相应向量的坐标代入相应的运算法则结果解析,