练习正确的打，错误的打“”对任意，都不成立若是第象限角，则知识点二辅助角公式其中令，思考在辅助角公式中，的大小如何确定提示由与的大小来确定，即和的值练习函数在，上的值域是解析又，答案，新视点名师博客半角公式的应用确定半角的正弦余弦正切表示式前符号的原则若给出的角是象限的角时，可根据下表决定符号即时此时距离点都为点评解决实际问题，应首先设定主变量角以及相关的常量与变量，建立含有角的三角函数关系式，再利用三角函数的变换性质等进行求解求三角函数最值的问题，则，设矩形的面积为，则，当，且点，在第象限故，设，等变换的综合应用例若函数求的最小正周期及的最小值若，且求的值分析解析原等式成立右边，分子分母同除以，得右边左边，原等式成立考点三三角恒证明左边右边，左边即原等式成立点评恒等式的证明实质是消除式子左右两边结构角函数名等的差异，有目的地化繁为简常用定义法化弦法化切法拆项拆角法的代换公式变形等变式探究证明析由于，所以右边分析依据二倍角公式将的三角函数值转化为的三角函数值，再将弦化切即可从消除恒等式左右两边的差异入手，将右边的角,配凑成，的形式，注意到，解，从而即原式考点二三角恒等式的证明例证明，又，得，，则由半角公式得，原式，又的值化简，解析，由，得转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切看式子，看式子是否满足三角函数的公式如果满足直接使用，如果不满足转化下角或转换下名称，就可以使用变式探究已知，且，求点评解决三角函数问题时，要注意“三看”看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化看名称，把道等式尽量化成同名称或相近的名称，例如把所有的切都又，原式为是第象限的角，所以，从而原式为是第象限的角，所以，从而原式又，原式点评解决三角函数问题时，要注意“三看”看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化看名称，把道等式尽量化成同名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切看式子，看式子是否满足三角函数的公式如果满足直接使用，如果不满足转化下角或转换下名称，就可以使用变式探究已知，且，求的值化简，解析，由，得，又，得，，则由半角公式得，原式，又，从而即原式考点二三角恒等式的证明例证明分析依据二倍角公式将的三角函数值转化为的三角函数值，再将弦化切即可从消除恒等式左右两边的差异入手，将右边的角,配凑成，的形式，注意到，解析由于，所以右边左边即原等式成立点评恒等式的证明实质是消除式子左右两边结构角函数名等的差异，有目的地化繁为简常用定义法化弦法化切法拆项拆角法的代换公式变形等变式探究证明证明左边右边，原等式成立右边，分子分母同除以，得右边左边，原等式成立考点三三角恒等变换的综合应用例若函数求的最小正周期及的最小值若，且求的值分析解析且点，在第象限故，设则，设矩形的面积为，则，当，即时此时距离点都为点评解决实际问题，应首先设定主变量角以及相关的常量与变量，建立含有角的三角函数关系式，再利用三角函数的变换性质等进行求解求三角函数最值的问题，般需利用三角函数的有界性来解决变式探究如图，公司位于两条平行的大道之间处，且到两道的距离分别为，今公司想在两道上分别设置个产品销售点和，使⊥，试问如何设置使的面积最小此时最小值为多少解析设，则，当，即时，的最小值为新思维随堂自测如果那么的值等于解析答案函数的最小正周期和最大值分别为解析答案已知，则的值为或不存在或不存在解析若，则若，即不存在答案在中，若，则等于解析在中，答案函数的最大值为解析当时，答案辨错解走出误区易错点忽略函数的定义域或三角函数符号而导致出错典例已知，求错解因为，所以若，则若，则错因分析由半角公式可以知道，和的符号相同，所以在求时应注意公式的选择正解已知，所以若，则若，则反思在运用二倍角或半角公式化简求值的过程中，容易漏掉函数的定义域而造成求值错误，或者遇到正负号的选择时，不会分析正负号的情况而造成求值错误遇到此类问题时，应在运用公式之前弄清公式成立的条件及各个角的范围，这样才能正确解决问题目标导航了解半角公式及其推导过程能运用和与差的三角函数分式进行简单的恒等变换重点掌握三角恒等变换在三角函数性质中的应用难点新知识预习探究知识点半角公式阅读教材，完成下列问题当时，当时练习正确的打，错误的打“”对任意，都不成立若是第象限角，则知识点二辅助角公式其中令，思考在辅助角公式中，的大小如何确定提示由与的大小来确定，即和的值练习函数在，上的值域是解析又，答案，新视点名师博客半角公式的应用确定半角的正弦余弦正切表示式前符号的原则若给出的角是象限的角时，可根据下表决定符号第象限第三象限第二象限第三象限第三象限第二四象限第四象限第二四象限若给出角的范围即区间时，可先求出的范围，然后再根据所在的范围来确定符号如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号利用半角公式求三角函数值时，易错的地方是公式右边“”的选取，选取的原则是公式相等的前提条件是左右两边符号致，即左边的三角函数值在所在象限的符号就是右边的符号般有如下规律若已给出所在象限，则由所在象限确定该三角函数值的符号若没有给出限定符号的条件，该三角函数值取正负值的详细变化见表利用半角公式求，关键在于求出的值，如例应用公式的好处在于回避了对“”的讨论辅助角公式形式上是的三角函数式，通过三角恒等变换可写成的形式，其中，此公式称为辅助角公式其中可通过以及点，所在的象限来确定新课堂互动探究考点用半角公式解决化简或求值问题例求的值化简分析因为是的二倍，且三角函数值易知，因此依据二倍角公式转化为用的相关三角函数值表示出，再求值本题中既有，又有，因此要化简，需转换角，同时在式子中含有根号，需转换成能开方的形式，由角的范围可确定的范围，从而确定其三角函数值的符号，充分利用半角公式转换解析因为，所以因为是第象限的角，所以，从而原式又，原式点评解决三角函数问题时，要注意“三看”看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化看名称，把道等式尽量化成同名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切看式子，看式子是否满足三角函数的公式如果满足直接使用，如果不满足转化下角或转换下名称，就可以使用变式探究已知，且，求的值化简，解析，由，得为是第象限的角，所以，从而原式又，原式点评解决三角函数问题时，要注意“三看”看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化看名称，把道等式尽量化成同名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切看式子，看式子是否满足三角函数的公式如果满足直接使用，如果不满足转化下角或转换下名称，就可以使用变式探究已知，且，求的值化简，解析，由，得，又，得，，则由半角公式得，原式，又，从而即原式考点二三角恒等式的证明例证明分析依据二倍角公式将的三角函数值转化为的三角函数值，再将弦化切即可从消除恒等式左右两边的差异入手，将右边的角,配凑成，的形式，注意到，解析由于，所以右边左边即原等式成立点评恒等式的证明实质是消除式子左右两边结构角函数名等的差异，有目的地化繁为简常用定义法化弦法化切法拆项拆角法的代换公式变形等变式探究证明证明左边右边，原等式成立右边，分子分母同除以，得右边左边，原等式成立考点三三角恒等变换的综合应用例若函数求的最小正周期及的最小值若，且求的值分析解析且点，在第象限故又，原式转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切看式子，看式子是否满足三角函数的公式如果满足直接使用，如果不满足转化下角或转换下名称，就可以使用变式探究已知，且，求，又，得，，则由半角公式得，原式，又分析依据二倍角公式将的三角函数值转化为的三角函数值，再将弦化切即可从消除恒等式左右两边的差异入手，将右边的角,配凑成，的形式，注意到，解证明左边右边，等变换的综合应用例若函数求的最小正周期及的最小值若，且求的值分析解析，则，设矩形的面积为，则，当练习正确的打，错误的打“”对任意，都不成立若是第象限角，则知识点二辅助角公式其中令，思考在辅助角公式中，的大小如何确定提示由与的大小来确定，即和的值练习函数在，上的值域是解析又，答案，新视点名师博客半角公式的应用确定半角的正弦余弦正切表示式前符号的原则若给出的角是象限的角时，可根据下表决定符号