1、以数列是首项为,公比为的等比数列,故𝑏𝑞𝑚𝑞𝑚𝑚已知数列满足,„若是等差数列,求其首项和公差证明数列不可能是等比数列若,求的通项公式及其前项和因为是等差数列,设其首项为,公差为,则,于是有,整理得,因此𝑎𝑎解得𝑎,𝑑假设是等比数列,设其首项为,则于是有,解得,于是公比𝑎𝑎,这时又,二者矛盾,所以不是等比数列由可得,所以数列是个公比为的等比数列,其首项为,于是故,于是的前项和为𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛求和与递推数列见学生用书掌握等差数列与等比数列的前项和公式了解递推数列是数列的种表示方法,能求常见的递推数列的通项公式会用错位相减及拆项的方法求数列的前项和数列求和的常用方法分组求和把个数列分成几个可以直接求和的数列拆项相消有时把个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再。

2、,若不适合,则用分段函数的形式表示已知下列数列的前项和,求的通项公式且等比数列,首项为,公比为,所以故数列的通项公式为𝑛𝑛数列的通项与前项和的关系是𝑆𝑆𝑛𝑆𝑛,当时,若,由于也适合此等式,故由,得由,得又因为所以,即数列从第二项起构成若,当时,由,求当时,由消去,得与的关系转化成由递推关系求通项,当时𝑎𝑎,两边分别相乘得𝑎𝑛𝑎,又,题型三由数列的前项和求通项公式已知数列的前项和为,求下列条件下数列的通项公式数列𝑎𝑛𝑛是常数列且𝑎𝑛𝑛𝑎,法二累乘法当时𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛𝑛,„,„𝑛𝑛𝑛𝑛„𝑛𝑛„,当时,符合上式故选法由已知整理得已知,,则数列的通项公式为因为𝑛𝑛,当时,所以解求解当出现时,用累加法求解当出现𝑎𝑛𝑎𝑛时,用累乘法求解在数列中𝑛,则将其。

3、都有成立,则实数的取值范围是由知道数列是个递增数列,又因为通项公式,可以看作是关于的二次函数,考虑到,所以𝑘,故选已知整数对按如下规律排成列„,则第个数对是根据题中规律知为第项为第项为第项,„,整数对和为的有项,由𝑛𝑛得,且时故第个数对是和为的倒数第项,即,已知数列的通项公式为𝑛𝑛,设其前项和为,则使成立的最小自然数等于因为𝑛𝑛,又„,所以的最小值为已知数列的通项为�都相等,且满足求公比用表示因为每行的数成等差数列,所以成等差数列,所以又每列的数成等比数列,故,即𝑎𝑎又因为,所以,故由已知,第四行的数成等差数列,且,为此行中第个数,所以𝑘已知等差数列的前项和为,且求数列的通项公式对任意,将数列中不大于的项的个数记为求数列的前项和设数列的公差为,前项和为,由得到𝑎解得,因此对,若,则,因此,所。

4、„,整数对和为的有项,由𝑛𝑛得,且时故第个数对是和为的倒数第项,即,已知数列的通项公式为𝑛𝑛,设其前项和为,则使成立的最小自然数等于因为𝑛𝑛,又„,所以的最小值为已知数列的通项为�都相等,且满足求公比用表示因为每行的数成等差数列,所以成等差数列,所以又每列的数成等比数列,故,即𝑎𝑎又因为,所以,故由已知,第四行的数成等差数列,且,为此行中第个数,所以𝑘已知等差数列的前项和为,且求数列的通项公式对任意,将数列中不大于的项的个数记为求数列的前项和设数列的公差为,前项和则数列是递增数列递减数列摆动数列不确定因为𝑎𝑛𝑎𝑛,则,所以,所以是递减数列下列说法正确的是因为𝑎𝑛𝑆𝑛得且又,所以𝑛,且𝑛见精练案选择题已知数列满足当时当时,当时,当时𝑛𝑛且𝑛适合,则的情况可并入时的通项当时。

5、,由消去,得与的关系转化成由递推关系求通项,当时由于也适合此等式,故由,得由,得又因为所以,即数列从第二项起构成等比数列,首项为,公比为,所以故数列的通项公式为𝑛𝑛数列的通项与前项和的关系是𝑆𝑆𝑛𝑆𝑛,当时,若适合,则的情况可并入时的通项当时,若不适合,则用分段函数的形式表示已知下列数列的前项和,求的通项公式且当时当时,当时,当时𝑛𝑛且𝑛因为𝑎𝑛𝑆𝑛得且又,所以𝑛,且𝑛见精练案选择题已知数列满足则数列是递增数列递减数列摆动数列不确定因为𝑎𝑛𝑎𝑛,则,所以,所以是递减数列下列说法正确的是数列,可表示为,数列,与数列,是相同的数列数列𝑛𝑛的第项为𝑘数列„可记为由数列定义可知错误数列𝑛𝑛的第项为𝑘𝑘𝑘,故正确数列„的通项公式为,故错已知数列的通项公式是,若对任意,。

6、求和错位相减适用于个等差数列和个等比数列对应项相乘构成的数列求和倒序相加例如,等差数列前项和公式的推导并项求和个数列的前项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如类型,可采用两项合并求解二常见的拆项公式若是公差为的等差数列,则𝑎𝑛𝑎𝑛𝑑𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑛𝑘𝑛𝑘𝑛𝑘𝑛三递推数列由递推式和初始值确定的数列称为递推数列求通项的常用方法累加法,迭代法,代换法,代入法等常见类型𝑎𝑛𝑎𝑛,𝑎为常数其特例解题方法利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列通过数列通项公式观察数列特点和规律,在分析数列通项的基础上,判断求和类型,寻找求和的方法,或拆为基本数列求和,或转化为基本数列求和求和过程中同时要对项数作出准确判断含有字母。

7、两边分别相加,得„,所以𝑛𝑛𝑛𝑛经检验,当时,上式也成立已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加累乘构造法之后讲别相乘,得𝑎𝑛𝑎„𝑛𝑛所以𝑛𝑛当时符合上式,所以𝑛𝑛当时,有„知求已知求可用累乘法可用累加法当时𝑎𝑛𝑎𝑛,„将其两边分,„,联想到数列„,即数列,可得分母的通项公式为,因此可得它的个通项公式为𝑛𝑛𝑛或𝑛题型二由数列的递推关系求通项公式已少因此把第项变为,原数列可化为„,因此𝑛𝑛将数列统为„,对于分子„,是序号的倍加,可得分子的通项公式为,对于分母少因此把第项变为,原数列可化为„,因此𝑛𝑛将数列统为„,对于分子„,是序号的倍加,可得分子的通项公式为,对于分母„,联想到数列„,即数列,可得分母的通项公式为,因此可得它的个通项公式为𝑛𝑛𝑛或𝑛题型。

8、,有序数对,可以是从上面的规律可以看出𝑎𝑏解上式得𝑎见学生用书数列的概念和几种简单的表示方法年考数列是自变量为正整数的类函数年考数列的前项和与通项的关系年考数列前项和的概念年江西卷已知数列的前项和满足,且,那么等于可令,得,即当时数列与周期年新课标全国Ⅱ卷数列满足𝑎𝑛则𝑎𝑛周期而𝑎,年陕西卷根据右边框图,对大于的整数,输出的数列的通项公式是由程序框图可知第次运行第二次运行第三次运行第四次运行本题主要考查算法的基本思想功能及数列的通项,此类题型在高考中经常出现解决该类题目既要读懂框图中的赋值语句,循环变量和终止条件,又要能熟悉数列的通项公式的求法见学生用书题型由数列的前几项求数列的通项根据下列各数列的前几项的值,写出数列的个通项公式„,„,„„先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项数之。

9、二由数列的递推关系求通项公式已知求已知求可用累乘法可用累加法当时𝑎𝑛𝑎𝑛,„将其两边分别相乘,得𝑎𝑛𝑎„𝑛𝑛所以𝑛𝑛当时符合上式,所以𝑛𝑛当时,有„将其两边分别相加,得„,所以𝑛𝑛𝑛𝑛经检验,当时,上式也成立已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加累乘构造法之后讲解求解当出现时,用累加法求解当出现𝑎𝑛𝑎𝑛时,用累乘法求解在数列中𝑛,则已知,,则数列的通项公式为因为𝑛𝑛,当时,所以„𝑛𝑛𝑛𝑛„𝑛𝑛„,当时,符合上式故选法由已知整理得数列𝑎𝑛𝑛是常数列且𝑎𝑛𝑛𝑎,法二累乘法当时𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛𝑛,„𝑎𝑎,两边分别相乘得𝑎𝑛𝑎,又,题型三由数列的前项和求通项公式已知数列的前项和为,求下列条件下数列的通项公式若,当时,由,求当。

10、列三数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法图象法和解析法四数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式五数列的通项与前项和的关系已知,则𝑆𝑆𝑛𝑆𝑛,𝑛数列的通项公式不定唯数列是种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,定要注意自变量的取值范围,研究数列的单调性和函数的单调性的方法是不同的已知数列的通项公式是𝑛𝑛,那么这个数列是递增数列递减数列摆动数列常数列𝑛,,随的增大而增大,为递增数列已知数列中𝑎𝑛,则等于由递推公式,得„,所以数列是周期数列,周期为,于是已知𝑛𝑛,则数列的最大项是第项第项第项或第项不存在由已知得𝑛𝑛𝑛𝑛,由函数的知识得当或时,最大数列满足则的通项公式由已知,得,当时,„„,当时,也成立数列𝑎𝑏„中。

11、间的关系,项与前后项之间的关系符号问题可用或表示,其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大,故通项公式为先联想数列„的通项,它又与数列„的通项有关,而„的通项为,于是这是个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为,„,每项都是两个相邻奇数的乘积经过组合,知所求数列的通项公式𝑛𝑛𝑛偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子,观察各项绝对值组成的数列,从第项到第项可见,分母分别由奇数,组成,而分子则是按照这样的规律第,项可分别改写为,所以𝑛𝑛根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,要抓住以下几方面的特征分式中分子分母的特征,相邻项的变化特征,拆项后的特征,各项符号的特征,等等然后进行归纳联想根据数列的前几项写出数列的个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到般”的思想。

12、数列求和,常伴随着分类讨论等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法,它可将复杂的数列转化为等差等比数列问题来解决,不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法错位相减法倒序相加法等来求和数列的通项公式𝑛𝑛,若前项的和为,则项数为𝑛𝑛𝑛𝑛设„,则的值为„,所以,„所以已知为等差数列,其公差为,且是与的等比中项,为的前项和,,则的值为数列的概念见学生用书了解数列的概念和几种简单的表示方法列表法图象法解析式法了解数列是自变量为正整数的类函数数列的定义按照定顺序排列的列数称为数列,数列中的每个数叫作这个数列的项二数列的分类按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数,使摆动数列从第二项起,有些项大于它的前项,有些项小于它的前项的数。

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