TOP45【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第7篇空间向量在立体几何中的应用（一）学案理.doc文档免费在线阅读

考点利用向量求两条异面直线所成的角典例上海如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求三角形的面积异面直线与所成的角的大小。

考点利用向量求直线与平面所成的角典例如图，三棱柱中，，，证明若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值变式如图，在正三棱柱中，点是的中点，点在上，且证明平面平面求直线和平面即，令，则，设直线与平面所成角为，，，，设为平面的个法向量，则⊥平面，⊥解平面⊥平面，⊥平面，两两垂直以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，中点，连接，⊥，，，又，，，，⊥又，，，即异面直线与所成的角大小为典例证明取，解为矩形，⊥⊥底面，平面，⊥又，⊥平面，，，，⊥，⊥，又，⊥平面典例平面，⊥，⊥，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，为平行四边形又平面，平面，平面平面⊥平面，平面平面，平面，⊥，⊥，得，即平面的个法向量为典型例题典例证明设交点为，连接，正方形边长为，，，又，四边形或解设为平面的个法向量，则即，令中，⊥底面，底面为正方形分别是的中点求证⊥在平面内求点，使⊥平面，并证明你的结论参考答案预习自测中，是棱的中点。

求直线与平面所成的角的正弦值在棱上是否存在点，使平面证明你的结论。

组提高选做题在四棱锥所成角的正弦值等于陕西如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为组如图所示，在正方体所成角的正弦值课后拓展案组全员必做题正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的余弦值为年湖南卷如图，在直棱柱中，证明求直线与平面所成角的余弦值为年湖南卷如图，在直棱柱中，证明求直线与平面所成角的正弦值课后拓展案组全员必做题正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于陕西如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为组如图所示，在正方体中，是棱的中点。

求直线与平面所成的角的正弦值在棱上是否存在点，使平面证明你的结论。

组提高选做题在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形分别是的中点求证⊥在平面内求点，使⊥平面，并证明你的结论参考答案预习自测或解设为平面的个法向量，则即，令，得，即平面的个法向量为典型例题典例证明设交点为，连接，正方形边长为，，，又，四边形为平行四边形又平面，平面，平面平面⊥平面，平面平面，平面，⊥，⊥平面，⊥，⊥，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，⊥，⊥，又，⊥平面典例解为矩形，⊥⊥底面，平面，⊥又，⊥平面，，，，即异面直线与所成的角大小为典例证明取中点，连接，⊥，，，又，，，，⊥又，⊥平面，⊥解平面⊥平面，⊥平面，两两垂直以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设为平面的个法向量，则即，令，则，设直线与平面所成角为，，设为平面的个法向量，则即，令，则，设直线与平面所成角为变式证明该棱柱为正三棱柱，⊥平面，平面，，又，⊥平面，平面，平面⊥平面解取中点，中点，连接，以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系图略，则，，，，设为平面的个法向量，则令，则，设直线与平面所成角为，，，故直线与平面所成角的正弦值为当堂检测证明该棱柱为直棱柱，平面，平面，，又，，平面，平面，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，，设为平面的个法向量，则令，则设直线与平面所成的角为组全员必做题解分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系图略，设棱长为，则平面的个法向量，设直线与平面所成角为，则，，设为平面的个法向量，则即整理得令，得设，则，，解得，即是棱中点时，平面组提高选做题证明如图，以所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，设，则⊥，即⊥解设，则，若使⊥平面，则由，得由，得点坐标为，即点为的中点第四十六课时空间向量在立体几何中的应用课前预习案考纲要求理解直线的方向向量与平面的法向量。

能用向量语言表述线线线面面面的垂直平行关系。

能用向量方法证明有关线面位置关系的些定理。

能用向量方法解决线线线面面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

基础知识梳理用向量方法证明直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行设直线和的方向向量分别为和，则或与重合已知两个不共线向量，与平面共面，直线的个方向向量为，则或在内已知两个不共线的向量，与平面共面，则或与重合用向量运算证明两条直线垂直设直线和的方向向量分别为和，则用向量运算求两条直线所成的角设直线和的方向向量分别为和，直线和所成的角为，则，与的关系是，即两条异面直线所成角的范围是用平面的法向量证明两个平面平行或垂直设，分别是平面，的法向量，则或与重合直线与平面的夹角叫做斜线和平面所成的角，斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中直线与平面所成角的范围是若斜线与它在平面内射影的夹角为，此射影与平面内直线的夹角为，斜线与平面内该直线的夹角为，则之间的关系是利用平面的法向量求直线和平面所成的角直线的方向向量，平面的法向量为，与所成的角为，则，预习自测以点为顶点的三角形是等腰直角三角形等边三角形直角三角形无法判断已知，，则向量与的夹角是正方体中，与平面所成角的余弦值为在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是设，则与平行的单位向量的坐标为已知，，求平面的个法向量课堂探究案典型例题考点利用向量证明平行与垂直问题典例如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，⊥，∥求证∥平面求证⊥平面。

考点利用向量求两条异面直线所成的角典例上海如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求三角形的面积异面直线与所成的角的大小。

考点利用向量求直线与平面所成的角典例如图，三棱柱中，，，证明若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值变式如图，在正三棱柱中，点是的中点，点在上，且证明平面平面求直线和平面所成角的正弦值。

当堂检测已知正四棱柱中为中点，则异面直线与所成角的余弦值为年湖南卷如图，在直棱柱中，证明求直线与平面所成角的正弦值课后拓展案组全员必做题正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于陕西如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为组如图所示，在正方体中，是棱的中点。

求直线与平面所成的角的正弦值在棱上是否存在点，使平面证明你的结论。

组提高选做题在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形分别是的中点求证⊥在平面内求点，使⊥平面，并证明你的结论参考答案预习