不等式可化为,解得又,所以,综上,的取值范围是选第二篇函数导数及其应用必修选修第节函数及其表示最新考纲了解构成函数的要素,会求些简单函数的定义域和值域了解映射的概念在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法列表法解析法表示函数了解简单的分段函数,并能简单应用函数分段不超过三段编写意图函数的概念及其表示是研究函数性质与应用的基础,高考中常以基本初等函数为载体,考查函数的定义域值域解析式的求法,考查分段函数的求值解方程解不等式最值等问题本节围绕高考命题的规律进行设点选题重点突出函数与映射概念的理解函数解析式的求法,待定系数法换元法与方程思想的应用,难点突破分段函数及应用,分类讨论思想数形结合思想,函数与方程思想的应用,思想方法栏目进步凸显了分类讨论思想在分段函数问题中的应用考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理函数的概念设,都是非空的,如果按照种确定的对应关系,使对于集合中的任意个数,在集合中都有唯确定的数和它对应,那么就称的定义域为,故选反思归纳求函数定义域的三种类型及求解策略已知函数的解析式,构建使解析式有意义的不等式组求解抽象函数若已知函数的定义域为变为“函数的定义域为,”,则结果如何解≧函数的定义域为≨,即,≨函数的定义域为由解得,≨函数因为函数的定义域为,所以对恒成立,即,恒成立,因此有,解得答案,变式本例中,条件的取值范围为函数的定义域解析,即或或,故所求的定义域是,,故选由题意知解得模拟已知函数的定义域为则函数的定义域为合肥模拟若函数的定义域为,则,均表示相等函数考点二例高考山东卷函数的定义域为,,,,北京两个函数是否是相等函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数函数的自变量习惯上用表示,但也可用其他字母表示,如故集合中的元素最多有个,故选答案反思归纳判断个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意个自变量的值都有唯确定的函数值”这个核心点数对于,由于,≨综上可知,正确的判断是,当时,可取当时可取,值,由函数的定义可知,直线与的图象只有个交点,即的图象与直线最多有个交点对于,与的定义域值域和对应关系均相同,所以与表示相等函且,而函数,的定义域是,所以两者不是相等函数对于,若不是定义域内的值,则直线与的图象没有交点,若是定义域内的不同,选项中,的定义域为,的定义域为,两函数定义域不同,选项中,两个函数的定义域与对应关系都相同对于,由于函数的定义域为两函数定义域不同,选项中,由得的定义域为,由,得的定义域为或,两函数的定义域其中正确判断的序号是已知是集合⊆,到集合,的个映射,则集合中的元素个数最多有个个个个解析选项中,与,表示相等函数函数的图象与直线的交点最多有个与是相等函数若,则,,函数与映射的概念有以下判断当或或,答案考点突破剖典例找规律考点例下列四组函数中,表示相等函数的是,当或或,答案考点突破剖典例找规律考点例下列四组函数中,表示相等函数的是,,,函数与映射的概念有以下判断与,表示相等函数函数的图象与直线的交点最多有个与是相等函数若,则其中正确判断的序号是已知是集合⊆,到集合,的个映射,则集合中的元素个数最多有个个个个解析选项中,两函数定义域不同,选项中,由得的定义域为,由,得的定义域为或,两函数的定义域不同,选项中,的定义域为,的定义域为,两函数定义域不同,选项中,两个函数的定义域与对应关系都相同对于,由于函数的定义域为且,而函数,的定义域是,所以两者不是相等函数对于,若不是定义域内的值,则直线与的图象没有交点,若是定义域内的值,由函数的定义可知,直线与的图象只有个交点,即的图象与直线最多有个交点对于,与的定义域值域和对应关系均相同,所以与表示相等函数对于,由于,≨综上可知,正确的判断是,当时,可取当时可取故集合中的元素最多有个,故选答案反思归纳判断个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意个自变量的值都有唯确定的函数值”这个核心点两个函数是否是相等函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数函数的自变量习惯上用表示,但也可用其他字母表示,如均表示相等函数考点二例高考山东卷函数的定义域为,,,,北京模拟已知函数的定义域为则函数的定义域为合肥模拟若函数的定义域为,则的取值范围为函数的定义域解析,即或或,故所求的定义域是,,故选由题意知解得因为函数的定义域为,所以对恒成立,即,恒成立,因此有,解得答案,变式本例中,条件变为“函数的定义域为,”,则结果如何解≧函数的定义域为≨,即,≨函数的定义域为由解得,≨函数的定义域为,故选反思归纳求函数定义域的三种类型及求解策略已知函数的解析式,构建使解析式有意义的不等式组求解抽象函数若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由求出若已知函数的定义域为则的定义域为在,时的值域实际问题既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求提醒如果所给解析式较复杂,切记不要化简后再求定义域所求定义域须用集合或区间表示求函数的解析式考点三例已知,求的解析式已知,求的解析式已知是次函数,且满足,求的解析式已知满足,求的解析式解由于,所以,或,故的解析式是或令为,销售额为,当时当时,故销售额与销售量之间的函数关系为,答案分段函数及应用考点四例高考福建卷已知函数则南京质检已知实数,函数若,则的值为高考浙江卷设函数,若,则实数的取值范围是对任意两个实数定义若则,的最小值为解析,当时此时,由得,解得,不合题意,舍去当,此时由得,解得综上可知,的值为,当时≨,此时必成立当时,≨解得时恒成立总上令,解得或当时,即,所以,或作出图象,由图象可知函数的最小值在处,所以最小值为答案,反思归纳分段函数应用的常见题型及求解策略常见题型求解策略求函数值问题根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求值,有时每段交替使用求值解方程或解不等式问题分类求出各子区间上的解,再将它们合并在起,但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围求最值或值域问题先求出每个区间上的最值或值域,然后进行比较得出最大值最小值,合并得出值域图象及其应用根据每段函数的定义区间和解析式在同坐标系中作出图象,然后应用,作图时要注意每段图象端点的虚实提醒解决分段函数问题的总策略是分段击破,即对不同的区间进行分类求解,然后整合助学微博函数是特殊的映射,映射不定是函数,从到的个映射若不是数集,则这个映射便不是函数判断两个函数是否为同函数时,要紧扣两点是定义域是否相同二是对应关系是否相同牢固树立“定义域优先原则”对函数性质的讨论,必须在定义域的前提下进行函数解析式的常用求法待定系数法换元法配凑法函数方程法解决与分段函数有关的问题时,需将问题分段解决,注意分类讨论思想与数形结合思想的灵活运用思想方法融思想促迁移分类讨论思想在求解有关分段函数不等式中的应用典例天津模拟已知则不等式的解集是解析当时,不等式可化为,解得,又,所以当时,不等式可化为,解得,又,所以,综上知,不等式的解集为答案方法点睛求解分段函数问题应对自变量分类讨论,讨论的标准就是自变量与分段函数所给出范围的关系求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围即时训练黄冈质检已知函数若,则的取值范围是解析当时,不等式可化为,解得,当时,不等式可化为,解得又,所以,综上,的取值范围是选第二篇函数导数及其应用必修选修第节函数及其表示最新考纲了解构成函数的要素,会求些简单函数的定义域和值域了解映射的概念在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法列表法解析法表示函数了解简单的分段函数,并能简单应用函数分段不超过三段编写意图函数的概念及其表示是研究函数性质与应用的基础,高考中常以基本初等函数为载体,考查函数的定义域值域解析式的求法,考查分段函数的求值解方程解不等式最值等问题本节围绕高考命题的规律进行设点选题重点突出函数与映射概念的理解函数解析式的求法,待定系数法换元法与方程思想的应用,难点突破分段函数及应用,分类讨论思想数形结合思想,函数与方程思想的应用,思想方法栏目进步凸显了分类讨论思想在分段函数问题中的应用考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理函数的概念设,都是非空的,如果按照种确定的对应关系,使对于集合中的任意个数,在集合中都有唯确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的个函数,记作,,其中叫做自变量,的取值范围叫做函数的,与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的,显然,值域是集合的子集,函数的值域和对应关系构成了函数的三要素数集定义域值域定义域质疑探究函数的值域是由函数的定义域对应关系唯确定的吗提示是函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了,在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键函数的表示法基本表示方法图象法列表法分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为分段函数是个函数,分段函数的定义域是各段定义域的,值域是各段值域的解析法分段函数并集并集映射设,都是非空的集合,如果按照种确定的对应关系,使对于集合中的任意个元素,在集合中都有的元素与之对应,那么就称对应为从集合到集合的个映射唯确定基础自测下列各图中,可表示函数的图象的只可能是解析根据函数的定义,对定义域内的任意个必有唯的值和它对应高考江西卷函数的定义域为,,,,解析由题意可得,解得或,所以所求函数的定义域为,,故选设函数则的表达式是解析法≧,≨法二≧,令,则≨≨西安模拟已知函数若,则解析当时,由,得当时,由,得,舍去≨答案给出下列命题函数是其定义域到值域的映射若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数是函数函数的图象是条直线若或则,或其中真命题有写出所有真命题