,,≧,≨当且仅当时取,≨,故的最大值为记,方程有唯解,即有唯解令,得,因为,所以舍去,当,时在,上是单调递增函数当时因为有唯解,所以则即两式相减得,因为,所以设函数,因为时,是增函数,所以至多有解因为,所以方程的解为,从而解得高考大题冲关导数综合应用的热点问题考情概述导数的综合应用是历年高考必考的热点,试题难度较大,多以压轴题形式出现,命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性极值最值利用,当时,所以的单调递增区间为单调递减区间为所以函数数求导,然后对分情况进行讨论得到的单调区间分当时,当时,当时进行讨论,在这三种情况中分别找到的范围,最后取并集解的定义域为如果对任意,,,恒成立,求实数的取值范围思维导引对函数求导,得到的单调递增区间和单调递减区间,进而得到的最大值对函考向三利用导数研究恒成立问题例珠海检测已知函数,当时,求的最大值讨论函数的单调性由有,≨≨当,时,恒成立证明≧,≨,≨≧,讨论的正负得表↗↗最大值↘↘≨当时,有最大值,即恒成立,≧有单调减区间,≨,≨有解当时符合题意当,即≨的取值范围是,证明当,时,设,时,恒成立利用的结论证明若,则解当时≨的策略即时训练湛江模已知若且存在单调递减区间,求实数的取值范围若求证当或,问题等价于求函数在区间上的最值或值域的端点值,通过最值与值域端点值得到关于的不等式解之如果不能分离参数,则在含有参数的情况下,其处理策略同证明区间上不等式成立区间上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间上成立,不等式在区间上恒成立,求参数的范围”等证明区间上不等式成立的策略构造函数,把不等式转化为证明,从而当时,取得最小值由得故综上,当时冲关策略导数研究实数,故只需证明当时当时,函数在,上单调递增又,故在,上有唯实根,且,当,时在,上单调递增,且,因此当,时所以在,上单调递减,在,上单调递增证明当,,时,的最小值点后论证其最小值大于解由是的极值点得,所以于是,定义域为函数当时,证明考向二利用导数证明不等式思维导引解得,在的定义域内确定,即可,故只要,确定函数当时,证明考向二利用导数证明不等式思维导引解得,在的定义域内确定,即可,故只要,确定函数的最小值点后论证其最小值大于解由是的极值点得,所以于是,定义域为函数在,上单调递增,且,因此当,时所以在,上单调递减,在,上单调递增证明当,,时故只需证明当时当时,函数在,上单调递增又,故在,上有唯实根,且,当,时从而当时,取得最小值由得故综上,当时冲关策略导数研究实数区间上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间上成立,不等式在区间上恒成立,求参数的范围”等证明区间上不等式成立的策略构造函数,把不等式转化为证明,或,问题等价于求函数在区间上的最值或值域的端点值,通过最值与值域端点值得到关于的不等式解之如果不能分离参数,则在含有参数的情况下,其处理策略同证明区间上不等式成立的策略即时训练湛江模已知若且存在单调递减区间,求实数的取值范围若求证当,时,恒成立利用的结论证明若,则解当时≨≧有单调减区间,≨,≨有解当时符合题意当,即≨的取值范围是,证明当,时,设,≨≧,讨论的正负得表↗↗最大值↘↘≨当时,有最大值,即恒成立,≨当,时,恒成立证明≧,≨由有,≨考向三利用导数研究恒成立问题例珠海检测已知函数,当时,求的最大值讨论函数的单调性如果对任意,,,恒成立,求实数的取值范围思维导引对函数求导,得到的单调递增区间和单调递减区间,进而得到的最大值对函数求导,然后对分情况进行讨论得到的单调区间分当时,当时,当时进行讨论,在这三种情况中分别找到的范围,最后取并集解的定义域为,当时,所以的单调递增区间为单调递减区间为所以函数的定义域为且下面对参数进行讨论当时,故在,上单调递增当时,故在,上单调递减当时,令,解得,则当,,当,故在,上单调递增在,上单调递减不妨设,在,上单调递增,即恒成立构造函数,需证在,考山东卷设函数是自然对数的底数,求的单调区间最大值讨论关于的方程根的个数思维导引函数的导数不含参数,求导后直接求解的的取值区间即得函数的单调区间,根据单调性和极值点可得其取得最大值的点,求出最大值即可构造函数,问题转化为函数零点个数的讨论,分段研究函数的单调性得出其最值,根据最值与的关系以及函数值的变化趋势即得解,由,解得当,单调递增当时,单调递减所以函数的单调递增区间是单调递减区间是最大值为令,,当,时,则,所以因为,所以因此在,上单调递增当,时所以又,所以,即因此在,上单调递减综合可知,当,时,当,即时,ⅰ当,时,由知,要使,只需使,即ⅱ当,时,由知,要使,只需,即所以时,有两个零点,故关于的方程根的个数为综上所述,当时,关于的方程根的个数是冲关策略研究方程根,可以通过构造函数的方法,把问题转化为研究构造的函数的零点问题研究函数零点的策略是如果函数在已知区间上是单调的,则其最多只有个零点,再结合函数的零点存在定理,确定其零点是否存在如果函数在已知区间不是单调的,则求出这个函数的极值点和单调区间,再结合的极值与零的大小,以及函数的单调性零点存在定理判断其零点的个数即时训练教师备用郑州模拟已知函数若,函数在其定义域内是增函数,求的最大值若,关于的方程有唯解,求实数的取值范围解依题意时且在其定义域,上是增函数,≨对,恒成立,即对,恒成立,≨只需,,≧,≨当且仅当时取,≨,故的最大值为记,方程有唯解,即有唯解令,得,因为,所以舍去,当,时在,上是单调递增函数当时因为有唯解,所以则即两式相减得,因为,所以设函数,因为时,是增函数,所以至多有解因为,所以方程的解为,从而解得高考大题冲关导数综合应用的热点问题考情概述导数的综合应用是历年高考必考的热点,试题难度较大,多以压轴题形式出现,命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性极值最值利用导数研究不等式利用导数研究方程的根或函数的零点利用导数研究恒成立问题等体现了分类讨论数形结合函数与方程转化与化归等数学思想的运用考向利用导数研究函数性质综合问题例高考重庆卷已知函数的导函数为偶函数,且曲线在点,处的切线的斜率为确定,的值若,判断的单调性若有极值,求的取值范围思维导引先求导函数,再利用为偶函数和曲线在点,处的切线的斜率为建立关于,的方程组求解把代入函数解析式,利用基本不等式求的最小值,进而确定的符号,从而确定函数的单调性对分类,讨论方程是否有实根,从而确定极值解对求导得,由为偶函数,知,即,所以又,故,当时那么,故在上为增函数由知,而,当时等号成立下面分三种情况进行讨论当,此时无极值当时,对任意,此时无极值当时,令,注意到方程有两根,即有两个根,当时从而在处取得极小值综上,若有极值,则的取值范围为,冲关策略函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值最值的分类讨论单调性讨论策略单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点,把函数定义域分段,在各段上讨论导数的符号,在不能确定导数等于零的点的相对位置时,还需要对导数等于零的点的位置进行讨论极值讨论策略极值的讨论是以单调性的讨论为基础,根据函数的单调性确定函数的极值点最值讨论策略图象连续的函数在闭区间上最值的讨论,是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的,在极值和区间端点函数值中最大的为最大值,最小的为最小值即时训练高考重庆卷设,其中,曲线在点,处的切线与轴相交于点,确定的值求函数的单调区间与极值解因为,故令,得所以曲线在点,处的切线方程为,由点,在切线上可得,故由知,令,解得,当时,故在,上为增函数当时,故在,上为减函数由此可知在处取得极大值,在处取得极小值例高考新课标全国卷Ⅱ已知函数设是的极值点,求,并讨论的单调性当时,证明考向二利用导数证明不等式思维导引解得,在的定义域内确定,即可,故只要,确定函数的最小值点后论证其最小值大于解由是的极值点得,所以于是,定义域为函数在,上单调递增,且,因此当,时所以在,上单调递减,在,上单调递增证明当,,时故只需证明当时当时,函数在,上单调递增又,故在,上有唯实根,且,当,时从而当时,取得最小值由得故综上,当时冲关策略导数研究实数区间上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间上成立,不等式在区间上恒成立,求参数的范围”等证明区间上不等式成立的策略构造函数,把不等式转化为证明,或,问题等价于求函数在区间上的最值或值域的端点值,通过最值与值域端点值得到关于的不等式解之如果不能分离参数,则在含有参数的情况下,其处理策略同证明区间上不等式成立的策略即时训练湛江模已知若且存在单调递减区间,求实数的取值范围若求证当,时,恒成立利用的结论证明若,则解当时≨≧有单调减区间,≨,≨有解当时符合题意当,即≨的取值范围是当时,证明考向二利用导数证明不等式思维导引解得,在的定义域内确定,即可,故只要,确定函数的最小值点后论证其最小值大于解由是的极值点得,所以于是,定义域为函数在,上单调递增,且,因此当,时所以在,上单调递减,在,上单调递增证明当,,时故只需证明当时当时,函数在,上单调递增又,故在,上有唯实根,且,当,时从而当时,取得最小值由得故综上,当时冲关策略导数研究实数区间上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间上成立,不等式在区间上恒成立,求参数的范围”等证明区间上不等式成立的策略构造函数,把不等式转化为证明,或,问题等价于求函数在区间上的最值或值域的端点值,通过最值与值域端点值得到关于的不等式解之如果不能分离参数,则在含有参数的情况下,其处理策略同证明区间上不等式成立的策略即时训练湛江模已知若且存在单调递减区间,求实数的取值范围若求证当,时,恒成立利用的结论证明若,则解当时≨≧有单调减区间,≨,≨有解当时符合题意当,即≨的取值范围是,证明当,时,设,≨≧,讨论的正负得表↗↗最大值↘↘≨当时,有最大值,即恒成立,≨当,时,恒成立证明≧,≨由有,≨考向三利用导数研究恒成立问题例珠海检测已知函数,当时,求的最大值讨论函数的单调性如