解析函数在,上单调递减时,即函数在,上单调递减时且,即同时端点函数值要满足综上可知给出下列命题函数是幂函数如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点定是原点当恒成立的充要条件是,其中正确的是解析由幂函数定义知错误,正确幂函数在定义域上不单调故错误当∉,时,二次函数的最值在区间端点达到,而非故错误由恒成立不定有因为可以为故错误函数在区间,上是增函数,则的取值范围是解析≧在,上是增函数,≨,≨≨所以的取值范围是,答案,已知点,在幂函数的图象上,则的定义域为,奇偶性为,单调减区间为解析设函数,则由题意得,解得,≨≨函数的定义域与两种情况讨论满足条件函数的图象与直线相切求的解析式若不等式在时恒所以,≨,故当时,取得最大值为反思归纳对于函数,注意结合条件辨别是否是二次函数即判断是否为,有时需分证明令,由,得,所以的图象与轴的交点都在点,的左侧,故且解由,考点三例设关于的元二次方程有两个实根,求的值求证且如果试求的最大值解知,则,所以因为在区间,上是单调函数,所以或,解得或即的取值范围为,,二次函数的综合问题解得,若,则在区间,上是减函数,则有解得,综上可知或,由事半功倍即时训练已知函数,若在区间,上有最大值,最小值求,的值若,则在区间,上是增函数则有口方向对称轴位置定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定不定,要注意分类讨论要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”作草图,再“定量”看图求解,其图象如图所示又≧≨在区间,和,上为减函数,在区间,和,上为增函数反思归纳解决二次函数图象与性质问题时要注意抛物线的开的对称轴为,≨要使在,上为单调函数,只需或,解得或当时,的单调区间解当时则函数在,上为减函数,在,上为增函数,≨函数与性质考点二例无锡月考已知函数,,当时,求的最值求实数的取值范围,使在区间,上是单调函数当时,求在第象限的图象特征取值图象特殊点过,过,过,凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例二次函数的图象反思归纳利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较幂函数的指数与图象特征的关系当,时,幂函数根据且,得,使函数为上的偶函数的的值为,则的取值为设,则因此故填答案可排除而与的单调性相同,排除,从选项图象知中的故选由已知得,构造幂函数,根据幂函数的单调性,知,上海市十三校联考幂函数的图象经过点则的值为解析由且知过原点,即过过,上海市十三校联考幂函数的图象经过点则的值为解析由且知过原点,即过过可排除而与的单调性相同,排除,从选项图象知中的故选由已知得,构造幂函数,根据幂函数的单调性,知根据且,得,使函数为上的偶函数的的值为,则的取值为设,则因此故填答案反思归纳利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较幂函数的指数与图象特征的关系当,时,幂函数在第象限的图象特征取值图象特殊点过,过,过,凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例二次函数的图象与性质考点二例无锡月考已知函数,,当时,求的最值求实数的取值范围,使在区间,上是单调函数当时,求的单调区间解当时则函数在,上为减函数,在,上为增函数,≨函数的对称轴为,≨要使在,上为单调函数,只需或,解得或当时,其图象如图所示又≧≨在区间,和,上为减函数,在区间,和,上为增函数反思归纳解决二次函数图象与性质问题时要注意抛物线的开口方向对称轴位置定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定不定,要注意分类讨论要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”作草图,再“定量”看图求解,事半功倍即时训练已知函数,若在区间,上有最大值,最小值求,的值若,则在区间,上是增函数则有解得,若,则在区间,上是减函数,则有解得,综上可知或,由知,则,所以因为在区间,上是单调函数,所以或,解得或即的取值范围为,,二次函数的综合问题考点三例设关于的元二次方程有两个实根,求的值求证且如果试求的最大值解证明令,由,得,所以的图象与轴的交点都在点,的左侧,故且解由,所以,≨,故当时,取得最大值为反思归纳对于函数,注意结合条件辨别是否是二次函数即判断是否为,有时需分与两种情况讨论满足条件函数的图象与直线相切求的解析式若不等式在时恒成立,求实数的取值范围解≧由知的对称轴方程是,≨≧函数的图象与直线相切,≨方程组,有且只有解,即有两个相同的实根,≨,≨,≨,≨,≨函数的解析式为≧,≨等价于≧在时恒成立等价于次函数,≨实数的取值范围是,,助学微博元二次函数元二次方程元二次不等式间相互转化的般规律在研究元二次方程根的分布问题时,常借助二次函数的图象数形结合来解,般从开口方向对称轴位置判别式特殊点函数值四个方面分析在研究元二次不等式的有关问题时,般需借助二次函数的图象性质求解恒成立的充要条件,恒成立的充要条件是,二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题,解决的主要思路是等价转化,多用到数形结合思想与分类讨论思想对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用幂函数图象的特征时,图象过原点和在第象限的图象上升时,图象不过原点,在第象限的图象下降,反之也成立多维审题拓思维明思路与二次函数有关的恒成立问题典例洛阳模拟设函数,对于满足,求实数的取值范围〚审题〛视角分从而求出的取值范围视角二将参数分离得,然后求的最大值即可解法当时由,,得,或,或,≨,或,或≨或当时,解得当时≨不合题意综上可得,实数的取值范围是,法二由,即,得在,上恒成立令,≨,所以要使在,上恒成立,则即的取值范围是,点评在解决二次函数图象性质应用问题时,失误点在求闭区间上的最值时,忽视对开口方向的讨论而失误在研究二次函数单调性时,将对称轴与区间端点位置关系弄反而失误在将元二次不等式恒成立及元二次方程问题转化为二次函数问题时失误求解这类问题的方法有元二次不等式问题及元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解,但要注意讨论关于不等式的恒成立问题,常用分离参数法即时训练珠海模拟若当,时,不等式恒成立,则的取值范围为解析法令,结合的图象知,要使在,上恒成立,则有即解得法二由,所以在,上单调递增,所以,所以答案,第节二次函数与幂函数最新考纲了解幂函数的概念结合函数的图象,了解它们的变化情况理解并掌握二次函数的图象及性质能用二次函数方程不等式之间的关系解决简单问题编写意图幂函数二次函数是非常重要的函数模型,其图象与性质是高考考查的热点,常与元二次不等式元二次方程等知识交汇命题,考查数形结合思想,难度不大本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出二次函数的图象与性质的应用,如求函数在给定区间上的最值及确定参数的取值或取值范围,幂函数的图象与性质等等,难点是突破二次函数解析式的求解方法有关元二次不等式的恒成立问题分类讨论思想转化与化归思想及数形结合思想的应用,多维审题栏目突破了二次函数的最值问题,充分体现了分类讨论思想的灵活应用考点突破多维审题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理二次函数定义形如的函数叫做二次函数表示形式般式顶点式,其中为抛物线顶点坐标零点式,其中是抛物线与轴交点的横坐标,图象与性质见附表幂函数幂函数的概念形如的函数称为幂函数,其中是,为自变量常数常见幂函数的图象与性质见附表基础自测已知函数的图象均在轴上方,则的取值范围是,,,,解析由于的图象均在轴上方,则恒成立,故有,，≨已知函数,在上单调递减,则实数满足解析函数在,上单调递减时,即函数在,上单调递减时且,即同时端点函数值要满足综上可知给出下列命题函数是幂函数如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点定是原点当恒成立的充要条件是,其中正确的是解析由幂函数定义知错误,正确幂函数在定义域上不单调故错误当∉,时,二次函数的最值在区间端点达到,而非故错误由恒成立不定有因为可以为故错误函数在区间,上是增函数,则的取值范围是解析≧在,上是增函数,≨,≨≨所以的取值范围是,答案,已知点,在幂函数的图象上,则的定义域为,奇偶性为,单调减区间为解析设函数,则由题意得,解得,≨≨函数的定义域为,,又,≨函数为奇函数其单调递减区间为,和,答案,,奇函数,和,考点突破剖典例找规律考点例江西联考已知函数其中,且,在同坐标系中画出其中的两个函数在第象限内的图象,正确的是幂函数的图象与性质昆明模设,则的大小关系为已知且,若幂函数是上的偶函数,则的取值为上海市十三校联考幂函数的图象经过点则的值为解析由且知过原点,即过过可排除而与的单调性相同,排除,从选项图象知中的故选由已知得,构造幂函数,根据幂函数的单调性,知根据且,得,使函数为上的偶函数的的值为,则的取值为设,则因此故填答案反思归纳利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较幂函数的指数与图象特征的关系当,时,幂函数在第象限的图象特征取值图象特殊点过,过,过,凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例二次函数的图象与性,上海市十三校联考幂函数的图象经过点则的值为解析由且知过原点,即过过可排除而与的单调性相同,排除,从选项图象知中的故选由已知得,构造幂函数,根据幂函数的单调性,知根据且,得,使函数为上的偶函数的的值为,则的取值为设,则因此故填答案反思归纳利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧结合幂值的特点利用指数幂的运算性质