则其中正确的是解析错误因为函数的定义域,没有关于原点对称,所以,,既不是奇函数又不是偶函数正确函数关于直线对称,则函数关于直线对称正确函数关于点,中心对称,则函数关于点,中心对称错误由已知条件可得高考湖南卷已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则等于解析因为是偶函数,是奇函数,所以已知是定义在,上的偶函数,那么的值是解析依题意,且,≨,则若函数是周期为的奇函数,且满足则解析所以≨当时,有两个根,即答案或反思归纳函数奇偶性应用的常见题型及求解策略题型求解策略求函数值将待求函数由,可知函数的最小正周期,又由于该函数是奇函数,故故选≧是最小正周期为的周期函数,且时已知是上最小正周期为的周期函数,且当时则函数的图象在区间,上与轴的交点的个数为解析提醒应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内即时训练已知是定义在实数集上的奇函数,对任意的实数当,时则等于,,则函数必为周期函数,是它的个周期函数周期性的重要应用利用函数的周期性,可将其他区间上的求值,求零点个数,求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,进而求解,,则函数必为周期函数,是它的个周期,,则函数必为周期函数,是它的个周期≧,由题意,得≨答案反思归纳判断函数周期性的两个方法定义法图象法判断函数周期性的三个常用结论若对于函数定义域内的任意个都有,则解析作出函数的图象,由图象可知选由已知,可得故函数的周期为≨表示不超过的最大整数,则函数在上为奇函数偶函数增函数周期函数已知是定义在上的偶函数,并且,当时当时当时也满足故该函数为奇函数函数周期性的应用考点二例年高考湖北卷为实数,≧≨为奇函数由得时,,解由得定义域为,关于原点对称定义域内取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据的范围取相应的解析式化简,判断与的关系,得出结论,也可以利用图象作判断即时训练判断下列函数的奇偶性定义法图象法提醒确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称,再验证或其等价形式是否成立分段函数奇偶性的判断,要注意,关于原点对称又当时则当,故当时,故,故原函数是偶函数反思归纳判断函数奇偶性的两个方法得且≨的定义域为,关于原点对称≨≨,≨是奇函数易知函数的定义域为,,由得≨的定义域为关于原点对称又,即≨既是奇函数,又是偶函数由由得≨的定义域为关于原点对称又,即≨既是奇函数,又是偶函数由得且≨的定义域为,关于原点对称≨≨,≨是奇函数易知函数的定义域为,关于原点对称又当时则当,故当时,故,故原函数是偶函数反思归纳判断函数奇偶性的两个方法定义法图象法提醒确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称,再验证或其等价形式是否成立分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据的范围取相应的解析式化简,判断与的关系,得出结论,也可以利用图象作判断即时训练判断下列函数的奇偶性,解由得定义域为,关于原点对称≧≨为奇函数由得时当时当时也满足故该函数为奇函数函数周期性的应用考点二例年高考湖北卷为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为奇函数偶函数增函数周期函数已知是定义在上的偶函数,并且,当时则解析作出函数的图象,由图象可知选由已知,可得故函数的周期为≨≧,由题意,得≨答案反思归纳判断函数周期性的两个方法定义法图象法判断函数周期性的三个常用结论若对于函数定义域内的任意个都有,,则函数必为周期函数,是它的个周期,,则函数必为周期函数,是它的个周期,,则函数必为周期函数,是它的个周期函数周期性的重要应用利用函数的周期性,可将其他区间上的求值,求零点个数,求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,进而求解提醒应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内即时训练已知是定义在实数集上的奇函数,对任意的实数当,时则等于已知是上最小正周期为的周期函数,且当时则函数的图象在区间,上与轴的交点的个数为解析由,可知函数的最小正周期,又由于该函数是奇函数,故故选≧是最小正周期为的周期函数,且时≨当时,有两个根,即答案或反思归纳函数奇偶性应用的常见题型及求解策略题型求解策略求函数值将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程组,进而得出参数的值比较函数值的大小或解函数不等式利用奇偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性致,偶函数在对称区间上的单调性相反,转化到同单调区间上求解求函数解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于的方程组,从而得到的解析式即时训练日照月考若函数为奇函数,则等于已知函数则满足不等式的的取值范围是北京模拟已知函数是定义在上的奇函数,且当时则的解析式为解析因为函数为奇函数,所以恒成立,即恒成立,可化为恒成立,整理得恒成立,所以,所以画出,的图象,由图象可知,若,则即得,由已知得,当,而时所以,又为奇函数,所以,所以得,综上可知,答案助学微博正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件或是定义域上的恒等式奇偶函数的性质若奇函数在原点处有意义,定有是偶函数⇔奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称,反之也成立利用这性质可简化些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性若对于函数的定义域内任个自变量的值都有或或是常数且,则是个周期为的周期函数多维审题拓思维明思路求函数解析式中参数的值典例郑州模拟若函数为偶函数,则实数〚审题〛视角由利用方程思想求解视角二由函数图象的平移变换利用数形结合思想求解解析法因为为偶函数,所以,即⇒恒成立,所以法二函数为偶函数,函数是由偶函数向左或向右平移了个单位得到的,要使整个函数为偶函数,则需答案点评对于含参函数的奇偶性问题,可利用方程思想求解,也可利用数形结合思想求解即时训练设函数为奇函数,则解析法≧为奇函数,≨,≨,≨≨法二≧为奇函数,≨,≨,≨答案第节函数的奇偶性与周期性最新考纲结合具体函数,了解函数奇偶性的含义会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性了解函数周期性最小正周期含义,会判断应用简单函数的周期性编写意图函数的奇偶性与周期性同样是函数的基本性质,是函数知识的核心,是高考重点考查的内容,本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出函数奇偶性的判定函数的奇偶性与周期性的应用,难点突破利用函数的单调性奇偶性与周期性比较函数值的大小确定参数的取值或取值范围,函数与方程思想转化与化归思想及数形结合思想的应用,多维审题栏目突破了用函数解析式中参数值的求解方法,充分体现了方程思想的灵活应用课时训练以考查基础知识基本方法和基本技能为主,选题新颖,思维含量较大使用价值较高,是套不可多得的作业考点突破多维审题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理奇函数偶函数的概念及图象特征奇函数偶函数定义定义域函数的定义域关于对称对于定义域内的个与的关系都有都有结论函数为奇函数函数为偶函数图象特征关于对称关于对称原点任意原点轴质疑探究如果函数是奇函数,那么是否定有提示只有在处有定义的奇函数,才有周期性周期函数对于函数,如果存在个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数的所有周期中的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期存在个最小质疑探究周期函数的周期唯吗提示不唯若是函数的个周期,则,且也是的周期,即基础自测给出下列命题函数,,既是奇函数又是偶函数若函数是偶函数,则函数关于直线对称若函数是奇函数,则函数关于点,中心对称函数为上的奇函数,且,则其中正确的是解析错误因为函数的定义域,没有关于原点对称,所以,,既不是奇函数又不是偶函数正确函数关于直线对称,则函数关于直线对称正确函数关于点,中心对称,则函数关于点,中心对称错误由已知条件可得高考湖南卷已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则等于解析因为是偶函数,是奇函数,所以已知是定义在,上的偶函数,那么的值是解析依题意,且,≨,则若函数是周期为的奇函数,且满足则解析所以答案设函数是定义在上的奇函数,若当,时则满足的的取值范围是解析画草图,由为奇函数知的的取值范围为,,答案,,考点突破剖典例找规律考点例判断下列函数的奇偶性函数奇偶性的判定解由得≨的定义域为关于原点对称又,即≨既是奇函数,又是偶函数由得且≨的定义域为,关于原点对称≨≨,≨是奇函数易知函数的定义域为,关于原点对称又当时则当,故当时,故,故原函数是偶函数反思归纳判断函数奇偶性的两个方法定义法图象法提醒确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称,再验证或其等价形式是否成立分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据的范围取相应的解析式化简,判断与的关系,得出结论,也可以利用图象作判断即时训练判断下列函数的奇偶性由得≨的定义域为关于原点对称又,即≨既是奇函数,又是偶函数由得且≨的定义域为,关于原点对称≨≨,≨是奇函数易知函数的定义域为,关于原点对称又当时则当,故当时,故,故原函数是偶函数反思归纳判断函数奇偶性的两个方法定义法图象法提醒确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称,再验证或其等价形式是否成立分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据的范围取相应的解析式化简,判断与的关系,得出结论,也可以利用图象作判断即时训练判断下列函数的奇偶性,解由得定义域为,关于原点